Bài 3 trang 56 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 3 trang 56 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, , . Cho I và J lần lượt là trung điểm của SA và BC. Chứng minh rằng IJ ⊥ SA và IJ ⊥ BC.

Giải bài 3 trang 56 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Ta có hình vẽ sau:

Xét tam giác SAB có:

SA = SB = a; 

⇒ Tam giác SAB đều.

Mà I là trung điểm của SA ⇒ IB = 

Xét tam giác SAC có:

SA = SC = a; 

⇒ Tam giác SAC đều.

Mà I là trung điểm của SA ⇒ IC = 

Ta có BSC là tam giác vuông cân tại S.

Suy ra: 

Xét tam giác ABC:

AB = AC = a

AB² + AC² = a² + a² = 2a²

⇒ AB² + AC² = BC²

⇒ Tam giác ABC vuông cân tại A.

Mà J là trung điểm đoạn BC ⇒ AJ ⊥ BC

Xét tam giác SBC vuông cân tại S:

Mà J là trung điểm đoạn BC ⇒  SJ ⊥ BC

Xét tam giác JSA:

⇒  Tam giác JSA cân tại J.

Mà I là trung điểm của SA ⇒ IJ là đường trung tuyến của tam giác JSA.

hay IJ ⊥SA.

Xét tam giác IBC:

IB = IC = 

⇒ Tam giác IBC cân tại I.

Mà J là trung điểm của BC

⇒  IJ là đường trung tuyến của ΔIBC.

hay IJ ⊥ BC.