Bài 2 trang 56 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 2 trang 56 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng AB ⊥ CD.

Giải bài 2 trang 56 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Ta có hình vẽ sau:

Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện đều ABCD.

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC và AD.

Xét tam giác ABC:

M là trung điểm của AC.

N là trung điểm của BC.

Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

⇒ MN // AB; MN = AB/2 = a/2 (1)

Tương tự: MP là đường trung bình tam giác ACD:

⇒ MP // CD; MP = CD/2 = a/2 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ MN = MP = a/2

Tam giác ABD đều có BP là trung tuyến nên BP = 

Tam giác ACD đều có CP là trung tuyến nên CP = 

Xét tam giác BCP có: BP = CP =

⇒ Tam giác BCP cân tại P.

Mà N là trung điểm của BC

⇒ PN là đường trung tuyến nên PN ⊥ CN

Xét tam giác MNP:

⇒ MP² + MN² = PN²

⇒ Tam giác MNP vuông tại M.

Ta có: (AB, CD) = (MN, MP) = 

Vậy AB ⊥CD.