Tìm giá trị nhỏ nhất (gtnn), giá trị lớn nhất (gtln) của biểu thức lớp 9

Bài viết này giúp các em hiểu rõ các tìm giá trị nhỏ nhất (gtnn), giá trị lớn nhất (gtln) của biểu thức lớp 9 (dạng biểu thức một biến đại số, biểu thức chứa căn và biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối).

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức đại số:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến số)

Muốn tìm giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của một biểu thức ta có thể biến đổi biểu thức thành dạng: A²(x) + const ;(A biểu thức theo x, const = hằng số).

Ví dụ 1: Cho biểu thức: A = x² + 2x - 3.

 Tìm giá trị nhỏ nhât của biểu thức A.

Hướng dẫn:

- Ta có: A = x² + 2x - 3 = x² + 2x + 1 - 1 - 3 = (x + 1)² - 4

- Vì (x + 1)² ≥ 0 ⇒ (x + 1)² - 4 ≥ -4 

 ⇒ A ≥ - 4 dấu bằng xảy ra, tức A = - 4 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1

- Kết luận: A_min = -4 khi và chỉ khi x = -1.

Ví dụ 2: Cho biểu thức: B = x² + 6x - 5.

Tìm giá trị giá trị nhỏ nhất của B.

Hướng dẫn:

- Ta có: B =  x² + 6x - 5 = x² + 6x + 9 - 9 - 5 = (x + 3)² -14

- Vì (x + 3)² ≥ 0 ⇒ (x + 3)² ≥ 0 ⇒ (x + 3)² - 14  ≥ -14

 ⇒ B ≥ -14 dấu bằng xảy ra, tức B = -14 ⇔ x + 3 = 0 ⇔ x = -3

- Kết luận: B_min = -14 khi và chỉ khi x = -3.

Ví dụ 3: Cho biểu thức: C = -x² + 6x - 5.

Tìm giá trị lớn nhất của C.

Hướng dẫn:

- Ta có: C =  -x² + 6x - 5 = -x² + 6x - 9 + 9 - 5 = -(x - 3)² + 4 = 4 - (x - 3)²

- Vì (x - 3)² ≥ 0 ⇒ -(x - 3)² ≤ 0 ⇒ 4 - (x - 3)² ≤ 4

 ⇒ C  ≤ 4 dấu bằng xảy ra, tức C = 4 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

- Kết luận: C_max = 4 khi và chỉ khi x = 3.

Ví dụ 4: Cho biểu thức: 

  - Tìm x để A_max; tính A_max =?

Hướng dẫn:

- Để A đạt gía trị lớn nhất thì biểu thức (x² + 2x + 5) đạt giá trị nhỏ nhất.

- Ta có: x² + 2x + 5 = x² + 2x + 1 + 4 = (x + 1)² + 4

- Vì (x + 1)² ≥ 0 nên (x + 1)² + 4 ≥ 4 

 dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x + 1 = 0 ⇔ x = -1

 Vậy Min(x² + 2x + 5) = 4 ⇔ x = -1

Suy ra: Max(A) = 1/4 ⇔ x = -1

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa dấu căn

* Phương pháp:

Cũng tương tự như cách tìm ở phương pháp trên, vận dụng tính chất của biểu thức không âm như:

 (0 ≤ b) hoặc  (0 ≤ b)

- Dấu "=" xảy ra khi A = 0.

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức: 

 Lời giải:

- Ta thấy:  

 Vì (x - 1)² ≥ 0 ⇒ 2(x - 1)² ≥ 0 ⇒ 2(x - 1)² + 3 ≥ 3

 dấu "=" xảy ra khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1

 khi chỉ khi x = 1.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức:

Lời giải:

- Ta có:

  Vì (x - 1)² ≥ 0 ⇒ -3(x - 1)² ≤ 0 ⇒ -3(x - 1)² + 5 ≤ 5

dấu "=" xảy ra khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1

 khi và chỉ khi x = 1.

* Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức: 

° Lời giải:

- Ta có:

   nên giá trị nhỏ nhất của A là  đạt được khi:

Ví dụ 4: Tìm giá tri lớn nhất (GTLN) của biểu thức: 

Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 0

- Để A đạt giá trị lớn nhất thì  đạt giá trị nhỏ nhất

- Ta có: 

 Lại có: 

 Dấu"=" xảy ra khi 

Nên: 

Suy ra:

- Kết luận: GTLN của A = 4/7 khi x = 1/4.

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến số)

- Bài toán này cũng chủ yếu dựa vào tính không âm của trị tuyệt đối.

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN_ của biểu thức: A = 5 - |2x - 2|

Lời giải:

- Ta có: |2x - 2| ≥ 0 ⇔ -|2x - 2| ≤ 0 ⇔ 5 -|2x - 2| ≤ 5

 Dấu "=" xảy ra khi |2x - 2| = 0 ⇔ 2x - 2 = 0 ⇔ x = 1

 Vậy A_max = 5 ⇔ x = 1

Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức: A = |9 - x| - 3

Lời giải:

- Ta có: |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| - 3 ≥ -3

Dấu "=" xảy ra khi |9 - x| = 0 ⇔ 9 - x = 0 ⇔ x = 9

 Vậy A_min = -3 ⇔ x = 9

Như vậy, các bài toán trên dựa trên các biến đổi về dạng tổng hoặc hiệu của biểu thức không âm (bình phương, trị tuyệt đối,...) và hằng số để tìm ra lời giải.

Thực tế, còn nhiều bài toán phải sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Cosi) cho hai số a, b không âm:  (Dấu "=" xảy ra khi a =b) hay áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: |a| + |b| ≥ |a + b|(dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a.b≥ 0); |a - b| ≤ |a| + |b|, (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a.b≤ 0).

* Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức:

° Lời giải:

-  Vì a, b > 0 nên 

- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (còn gọi là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means)).

 Dấu "=" xảy ra khi 

- Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của M = 2 ⇔ a = b.

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức:

Lời giải:

-  Vì a > 1 nên a - 1 > 0 ta có:

(Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được)

Dấu "=" xảy ra khi:

 Đối chiếu điều kiện a > 1 nên chỉ nhận a = 2; loại a = 0.

- Kết luận: GTNN của M = 3 ⇔ a = 2.