Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và Bài tập vận dụng - Toán lớp 9

Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế như thế nào? qua đó vận dụng giải các bài tập minh họa vận dụng phương pháp này để các em rèn luyện kỹ năng giải toán.

I. Phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Phương trình bậc nhất 2 ẩn

- Phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c với a, b, c ∈ R (a² + b² ≠ 0)

- Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn: Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng (d):  ax + by = c

• Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì đường thẳng (d) là đồ thị hàm số :
• Nếu a ≠ 0, b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay x = c/a và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục tung
• Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình trở thành by = c hay y = c/b và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục hoành

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

+ Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn:  , trong đó a, b, c, a’, b’, c’ ∈ R

+ Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

- Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi đó ta có:

• (d) // (d’) thì hệ vô nghiệm
• (d) cắt (d’) thì hệ có nghiệm duy nhất
• (d) ≡ (d’) thì hệ có vô số nghiệm

+ Hệ phương trình tương đương: Hệ hai phương trình tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.

II. Cách giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp thế

a) Quy tắc thế

Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc thế bao gồm hai bước sau:

+ Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thức nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thức hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).

+ Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thức hai trong hệ (phương trình thức nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1).

b) Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

+ Bước 1: Dùng quy tắc thế để biến đổi phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn.

+ Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

* Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế

a) 

b) 

* Lời giải:

a) 

b) 

• Xem thêm: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số (dễ hiểu)

III. Bài tập giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế

* Bài 12 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế

a)    b) 

c) 

* Lời giải:

a) 

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (10;7)

b) 

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (11/19;-6/19)

c) 

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (25/19;-21/19)

* Bài 13 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải hệ PT sau bằng phương pháp thế

a)      b) 

* Lời giải:

a) 

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (7;5)

b) 

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (3;³/₂)