Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m - Toán lớp 9

Bài viết này sẽ hướng dẫn các bước giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m, qua đó giúp các em dễ dàng giải được các dạng toán này.

* Các bước giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn theo tham số m

- Để giải biện luận hệ phương trình theo tham số m ta thực hiện 3 bước như sau:

• Bước 1: Đựa hệ phương trình về phương trình dạng bậc nhất dạng ax + b = 0. (sử dụng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số,...)

• Bước 2: Xét phương trình bậc nhất: ax + b = 0, (với a, b là hằng số) (1).

- TH1: Nếu a ≠ 0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = -b/a. từ đó tìm được y.

- TH2: Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình (1) vô nghiệm.

- TH3: Nếu a = 0, b = 0  thì phương trình (1) có vô số nghiệm.

• Bước 3: Kết luận nghiệm của hệ phương trình.

* Bài tập giải và biện luận hệ phương trình có lời giải

* Bài tập 1: Cho hệ phương trình:

Giải và biện luận hệ phương trình trên theo tham số m.

> Lời giải:

- Từ pt(2) ⇒ y = 2m - mx thế vào pt(1) ta có:

 x + m(2m - mx)= m + 1 

⇔ x - m²x + 2m² = m + 1

⇔  2m² - m - 1 = m²x - x

 ⇔  (m² - 1)x = 2m² - m - 1 (3)

+ TH1: Nếu m² - 1 ≠ 0 ⇒ m ≠ -1 hoặc m ≠ 1 thì phương trình (3) có nghiệm duy nhất:

+ TH2: Nếu m² - 1 = 0 ⇒ m = -1 hoặc m = 1.

 Với m = -1 thì pt(3) trở thành: 0x = 2 + 1 - 1 = 2 ⇒ pt(3) vô nghiệm ⇒ hệ pt vô nghiệm.

 Với m = 1 thì pt(3) trở thành: 0x = 2 - 1 - 1 = 0 đúng với mọi x ⇒ pt(3) có vô số nghiệm ⇒ hệ pt có vô số nghiệm.

- Kết luận:

 Với m ≠ -1 hoặc m ≠ 1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất 

 Với m = -1 hệ phương trình vô nghiệm

 Với m = 1 hệ phương trình có vô số nghiệm

* Bài tập 2: Cho hệ phương trình: 

Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m.

> Lời giải:

- Từ pt(1) ta suy ra: y = 2x - m - 5 thế vào pt(2) ta được:

 (m - 1)x  - m(2x - m - 5) = 3m - 1

⇔ (m - 1)x - 2mx + m² + 5m = 3m - 1

⇔  m² + 5m - 3m + 1 = 2mx - (m - 1)x

⇔ (m + 1)x = m² + 2m + 1

⇔ (m + 1)x = (m + 1)². (3)

+ TH1: với m + 1 ≠ 0 ⇒ m ≠ -1 thì pt(3) có nghiệm duy nhất: x = m + 1 ⇒ y = 2(m + 1) - m - 5 = m - 3.

+ TH2: với m + 1 = 0 ⇒ m = -1 thì pt(3) trở thành:

 0x = 0 nên pt(3) có vô số nghiệm ⇒ hệ pt có vô số nghiệm.

- Kết luận:

 Với m ≠ -1 thì hệ pt có nghiệm duy nhất (x;y) = (m + 1; m - 3)

 Với m = -1 thì hệ phương trình có vô số nghiệm.

* Bài tập 3: Cho hệ phương trình: 

Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m.