Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ và Bài tập vận dụng - Toán lớp 9

09:16:0116/12/2020

Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ là một trong những bài toán nâng cao hơn của dạng giải hệ phương trình bậc nhất với phương pháp cộng và phương pháp thế.

Khi giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách đặt ẩn phụ, chúng ta phải đặt ẩn phụ trước rồi mới vận dụng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế để giải hệ.

I. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách đặt ẩn phụ

* Phương pháp:

- Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa

- Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ

- Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt (sử dụng pp thế hoặc pp cộng đại số)

- Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ

* Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ

a) $small left{egin{matrix} frac{1}{x}+frac{1}{y}=2 frac{3}{x}-frac{4}{y}=-1 end{matrix} ight.$ b) $small g_white fn_cm small g_white fn_cm small left{egin{matrix} frac{5x}{x+1}+frac{y}{y-3}=27 frac{2x}{x+1}-frac{3y}{y-3}=4 end{matrix} ight.$

* Lời giải:

a) Điều kiện: x, y ≠ 0 (mẫu số khác 0).

Đặt: $small u=frac{1}{x}; v=frac{1}{y}$ ta có hệ ban đầu trở thành:

small left{egin{matrix} u+v=2 3u-4v=-1 end{matrix}
ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} u=2-v 3(2-v)-4v=-1 end{matrix}
ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} u=1 v=1 end{matrix}
ight.

- trở lại ẩn ban đầu x và y ta có: small left{egin{matrix} 1/x=1 1/y=1 end{matrix}
ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=1 y=1 end{matrix}
ight.

⇒ thỏa điều kiện, nên hệ có nghiệm duy nhất (1;1)

b) Điều kiện: x ≠ -1 và y ≠ 3 (mẫu số khác 0)

Đặt: $small u=frac{x}{x+1}; v=frac{y}{y-3}$ ta có hệ ban đầu trở thành:

small left{egin{matrix} 5u+v=27 2u-3v=4 end{matrix}
ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} v=27-5u 2u-3(27-5u)=4 end{matrix}
ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} v=2 u=5 end{matrix}
ight.

Trở lại ẩn ban đầu x và y ta có:

$small left{egin{matrix} frac{x}{x+1}=5 frac{y}{y-3}=2 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} 5(x+1)=x 2(y-3)=y end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=frac{-5}{4} y=6 end{matrix} ight.$

⇒ thỏa điều kiện, nên hệ có nghiệm duy nhất (-5/4;6)

II. Bài tập giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp đặt ẩn phụ

* Bài tập 1: Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ

$a)\: \left\{\begin{matrix} \frac{2}{x}+\frac{3}{y-2}=4\\ \frac{4}{x}+\frac{1}{y-2}=1 \end{matrix}\right.$ $b)\: \left\{\begin{matrix} \frac{2}{x+1}+\frac{3}{y}=-1\\ \frac{2}{x+1}+\frac{5}{y}=-1 \end{matrix}\right.$

* Bài tập 2: Giải hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ

$a)\: \left\{\begin{matrix} \frac{3}{2x-y}-\frac{6}{x+y}=-1\\ \frac{1}{2x-y}-\frac{1}{x+y}=0 \end{matrix}\right.$

$b)\: \left\{\begin{matrix} \frac{12}{x-3}-\frac{5}{y+2}=63\\ \frac{8}{x-3}+\frac{15}{y+2}=-13 \end{matrix}\right.$

* Bài tập 3: Bằng cách đặt ẩn phụ giải hệ phương trình sau

$a)\: \left\{\begin{matrix} \frac{5}{x+y-3}-\frac{2}{x-y+1}=8\\ \frac{3}{x+y-3}+\frac{1}{x-y+1}=1,5 \end{matrix}\right.$

$b)\: \left\{\begin{matrix} \frac{4}{x+y-1}-\frac{5}{2x-y+3}=\frac{5}{2}\\ \frac{3}{x+y-1}+\frac{1}{2x-y+3}=\frac{7}{5} \end{matrix}\right.$

* Bài tập 4: Bằng cách đặt ẩn phụ giải hệ phương trình sau

$a)\: \left\{\begin{matrix} 2x^2+3y^2=36\\ 3x^2+7y^2=37 \end{matrix}\right.$ $b)\: \left\{\begin{matrix} 3x^2+y^2=5\\ x^2-3y^2=1 \end{matrix}\right.$

$c)\: \left\{\begin{matrix} 4x^2+y^2=13\\ 2x^2-y^2=-7 \end{matrix}\right.$

Như vậy, trong một số hệ với nhiều biểu thức hữu tỉ phức tạp, để giải được hệ chúng ta phải sử dụng cách đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn để giải bằng phương pháp cộng đại số hay phương pháp thế.

Các em cần làm nhiều bài tập phần này để có được kỹ năng nhận biết khi nào cần đặt ẩn phụ (lưu ý điều kiện của ẩn phụ nếu có) để giải hệ. Chúc các em học tốt.

Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ và Bài tập vận dụng - Toán lớp 9

Tags

Đánh giá & nhận xét