Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của tam thức bậc 2

Bài viết này giúp các em hiểu rõ các tìm giá trị nhỏ nhất (gtnn), giá trị lớn nhất (gtln) của tâm thức bậc 2 ở lớp 9.

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của tam thức bậc 2

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến số)

Muốn tìm giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của một biểu thức ta có thể biến đổi biểu thức thành dạng: A²(x) + const ;(A biểu thức theo x, const = hằng số).

Ví dụ 1: Cho biểu thức: A = x² + 2x - 3.

 Tìm giá trị nhỏ nhât (GTNN) của biểu thức A.

Hướng dẫn:

- Ta có: A = x² + 2x - 3 = x² + 2x + 1 - 1 - 3 = (x + 1)² - 4

- Vì (x + 1)² ≥ 0 ⇒ (x + 1)² - 4 ≥ -4 

 ⇒ A ≥ - 4 dấu bằng xảy ra, tức A = - 4 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1

- Kết luận: A_min = -4 khi và chỉ khi x = -1.

Ví dụ 2: Cho biểu thức: B = x² + 6x - 5.

Tìm giá trị giá trị nhỏ nhất (GTNN) của B.

Hướng dẫn:

- Ta có: B =  x² + 6x - 5 = x² + 6x + 9 - 9 - 5 = (x + 3)² -14

- Vì (x + 3)² ≥ 0 ⇒ (x + 3)² ≥ 0 ⇒ (x + 3)² - 14  ≥ -14

 ⇒ B ≥ -14 dấu bằng xảy ra, tức B = -14 ⇔ x + 3 = 0 ⇔ x = -3

- Kết luận: B_min = -14 khi và chỉ khi x = -3.

Ví dụ 3: Cho biểu thức: C = -x² + 6x - 5.

Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của C.

Hướng dẫn:

- Ta có: C =  -x² + 6x - 5 = -x² + 6x - 9 + 9 - 5 = -(x - 3)² + 4 = 4 - (x - 3)²

- Vì (x - 3)² ≥ 0 ⇒ -(x - 3)² ≤ 0 ⇒ 4 - (x - 3)² ≤ 4

 ⇒ C  ≤ 4 dấu bằng xảy ra, tức C = 4 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

- Kết luận: C_max = 4 khi và chỉ khi x = 3.

Ví dụ 4: Cho biểu thức: 

  - Tìm x để A_max; tính A_max =?

Hướng dẫn:

- Để A đạt gía trị lớn nhất thì biểu thức (x² + 2x + 5) đạt giá trị nhỏ nhất.

- Ta có: x² + 2x + 5 = x² + 2x + 1 + 4 = (x + 1)² + 4

- Vì (x + 1)² ≥ 0 nên (x + 1)² + 4 ≥ 4 

 dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x + 1 = 0 ⇔ x = -1

 Vậy Min(x² + 2x + 5) = 4 ⇔ x = -1

Suy ra: Max(A) = 1/4 ⇔ x = -1