Bài 3 trang 81 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 3 trang 81 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a) Chứng minh AB ⊥ (SIJ).

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.

Giải bài 3 trang 81 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Ta có hình vẽ sau:

a) Ta có: ΔSAB cân tại S và đáy là hình vuông ABCD.

Nên SI ⊥ AB và IJ ⊥ AB

⇒ AB ⊥ (SIJ)

b) Ta có: AB // CD ⇒ AB // (ABCD)

⇒ d(AB, SC) = d(AB, (SCD)) = d(I, (SCD))

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của I, O trên SJ

Ta có: IH // OK và IH = 2OK

Vì AB // CD nên CD ⊥ (SIJ) 

⇒ CD ⊥ IH 

⇒ IH ⊥ (SCD)

⇒ d(AB, CD) = d(AB, (SCD)) = IH = 2OK

Ta có: ABCD là hình vuông:

Suy ra: 

• Xét ΔSAO vuông tại O có:

• Xét ΔSOJ vuông tại O có đường cao OK nên

Vậy d(AB, SC) =  2OK