Bài 1 trang 103 SGK Toán 8 tập 1 Cánh Diều

Bài 1 trang 103 Toán 8 Cánh Diều Tập 1:

Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, AB < CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD và T là giao điểm của AC và BD (Hình 30).

Chứng minh:

a) 

b) TA = TB, TD = TC;

c) MN là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng AB và CD.

Giải bài 1 trang 103 Toán 8 Cánh Diều Tập 1:

a) Chứng minh 

Vì ABCD là hình thang cân nên AC = BD và AD = BC (tính chất hình thang cân).

Xét ΔADC và ΔBCD có:

AD = BC;

AC = BD;

DC là cạnh chung

⇒ ΔADC = ΔBCD (c-c-c)

 (hai góc tương ứng)

Chứng minh tương tự ta cũng có: ΔABD = ΔBAC (c-c-c)

 (hai góc tương ứng)

b) Chứng minh: TA = TB, TD = TC

Xét ΔTAD và ΔTBC có:

;

AD = BC;

⇒ ΔTAD = ΔTBC (g-c-g).

⇒ TA = IB và TD = TC (các cặp cạnh tương ứng).

c) MN là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng AB và CD.

• Vì TA = TB nên ΔTAB cân tại T.

ΔTAB cân tại T có TM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao do đó TM là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên TM ⊥ AB.

• Vì TD = TC nên ΔTCD cân tại T.

ΔTCD cân tại T có TN vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao do đó TN là đường trung trực của đoạn thẳng CD nên TN ⊥ CD.

• Vì AB // CD, TM ⊥ AB, TN ⊥ CD nên T, M, N thẳng hàng

⇒ MN là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng AB và CD.