Bài 10 trang 121 SGK Toán 8 tập 1 Cánh Diều

Bài 10 trang 121 Toán 8 Tập 1 Cánh Diều:

Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ < AB. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông.

Giải bài 10 trang 121 Toán 8 Tập 1 Cánh Diều: 

Ta có hình vẽ sau:

• Do ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA.

Mà AM = BN = CP = DQ

⇒ AB – AM = BC – BN = CD – CP = DA – DQ

Hay MB = NC = PD = QA

• Xét ΔAMQ và ΔBNM có:

AM = BN (giả thiết);

QA = MB (chứng minh trên)

Do đó ΔAMQ = ΔBNM (hai cạnh góc vuông)

Suy ra QM = MN (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự ta có: MN = NP và NP = PQ.

Khi đó MN = NP = PQ = QM.

• Tứ giác MNPQ có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

• Do ΔAMQ = ΔBNM (chứng minh trên) nên 

 (hai góc tương ứng)

Mà  (do ΔBMN vuông tại B)

Mặt khác: 

⇒ Hình thoi MNPQ có  nên là hình vuông.