Bài 7 trang 74 SGK Toán 10 tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 7 trang 74 SGK Toán 10 tập 2 Chân trời sáng tạo: Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:

a) Có tâm I(-2; 4) và bán kính bằng 9;

b) Có tâm I(1; 2) và đi qua điểm A(4; 5);

c) Đi qua hai điểm A(4; 1), B(6; 5) và có tâm nằm trên đường thẳng 4x + y – 16 = 0;

d) Đi qua gốc tọa độ và cắt hai trục tọa độ tại các điểm có hoành độ là a, tung độ là b.

Giải bài 7 trang 74 SGK Toán 10 tập 2 Chân trời sáng tạo:

a) Phương trình có tâm I(-2; 4) và bán kính bằng 9 là:

(x + 2)² + (y – 4)² = 9²

⇔ x² + 4x + 4 + y² – 8y + 16 = 81

⇔ x² + y² + 4x – 8y – 61 = 0

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là x² + y² + 4x – 8y – 61 = 0.

b) Ta có: 

Đường tròn cần tìm có tâm I và đi qua điểm A nên độ dài đoạn thẳng IA bằng bán kính của đường tròn nên 

Phương trình đường tròn tâm I(1; 2) và bán kính  là

(x – 1)² + (y – 2)² = (3√2)² 

⇔ (x – 1)² + (y – 2)² = 18

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là (x – 1)² + (y – 2)² = 18.

c) Xét phương trình đường thẳng 4x + y – 16 = 0 đi qua điểm M(4; 0) có VTPT là  khi đó VTCP của đường thẳng là .

Phương trình tham số của đường thẳng là: 

Gọi I là tâm của đường tròn cần tìm.

Vì I nằm trên đường thẳng 4x + y – 16 = 0 nên I(4 + t; -4t).

Ta có: , 

Vì đường tròn đi qua hai điểm A và B nhận I làm tâm nên IA = IB = R.

⇔ t² + 16t² + 8t + 1 = t² – 4t + 4 + 16t² + 40t + 25

⇔ -28t = 28

⇔ t = - 1

⇒ I(3; 4) và

Phương trình đường tròn tâm I(3; 4) và có bán kính  là:

(x – 3)² + (y – 4)² = (√10)²

⇔ (x – 3)² + (y – 4)² = 10.

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là (x – 3)² + (y – 4)² = 10.

d) Giả sử phương trình đường tròn có dạng:

 x² + y² - 2mx - 2ny + p = 0 với tâm I(m,n) bán kính 

Đường tròn đi qua gốc tọa độ và cắt 2 trục tọa độ tại các điểm có hoành độ a và tung độ là b nên ta có hệ phương trình:

Ta có điều kiện a,b ≠ 0, vì khi bằng 0 thì trùng với gốc tọa độ

Như vậy đường tròn đi qua O(0;0) cắt Ox tại điểm toạ độ (a;0) và cắt Oy tại điểm có toạ độ (0;b), ta có hệ phương trình:

 Phương trình đường tròn cần tìm là: