Giá trị lượng giác của một cung, lý thuyết và bài tập - Đại số 10 chương 6 bài 2

Bài viết này chúng ta cùng tìm hiểu về giá trị lượng giác của cung α? các công thức lượng giác cơ bản và giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt. Vận dụng lý thuyết giải một số bài tập cơ bản.

A. Lý thuyết Giá trị lượng giác của một cung

I. Giá trị lượng giác của cung α.1. Định nghĩa

• Trên đường tròn lượng giác cung  có số đo sđ  thì:

- Tung độ của M gọi là sin của α ký hiệu sinα: 

- Hoành độ của M gọi là cosin của α ký hiệu cosα: 

- Nếu cosα ≠ 0, ta gọi là tang của α, ký hiệu tanα là tỉ số: 

- Nếu sinα ≠ 0, ta gọi là cotang của α, ký hiệu cotα là tỉ số: 

⇒ Các giá trị sinα, cosα, tanα, cotα được gọi là các giá trị lượng giác của cung α.

> Lưu ý: vì sđ = sđ nên định nghĩa các giá trị lượng giác của cung lượng giác α cũng là giá trị lượng giác của góc lượng giác α.

2. Hệ quả

a) sinα và cosα xác định với mọi α ∈ R, hơn nữa, ta có:

 sin(α + k2π) = sinα, ∀k ∈ Z;

 cos(α + k2π) = cosα, ∀k ∈ Z;

b) Vì  nên:

c) tanα xác định với mọi   

 cotα xác định với mọi 

d) Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác

e) Bảng giá trị lượng giác các cung đặc biệt

II. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác

1. Công thức lượng giác cơ bản

- Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau:

2. Giá trị lượng giác của các cung liên quan đặc biệt

a) Cung đối nhau: α và -α

 cos(-α) = cosα

 sin(-α) = -sinα

 tan(-α) = -tanα

 cot(-α) = -cotα

b) Cung bù nhau: α và π-α

 sin(π-α) = sinα

 cos(π-α) = -cosα

 tan(π-α) = -tanα

 cot(π-α) = -cotα.

c) Cung hơn kém nhau π: α và α+π

 sin(α+π) = -sinα

 cos(α+π) = -cosα

 tan(α+π) = tanα

 cot(α+π) = cotα.

d) Cung phụ nhau π: α và π/2 - α

> Gợi ý cách ghi nhớ: 

- Chúng ta thấy: Trong cung đối chỉ hàm cos có dấu dương, cung bù chỉ hàm sin có dấu dương, cung phụ tất cả dương nhưng chéo sin-cos tan-cot; hơn kém nhau pi thì tan và cot dương; nên cách nhớ như sau:  cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi (π) tan (Cot)

B. Bài tập vận dụng Giá trị lượng giác của một cung

* Bài 1 trang 148 SGK Đại Số 10: Có cung α nào mà sinα nhận các giá trị tương ứng sau đây không?

a) -0,7;         b) 4/3;          c) –√2         d) (√5)/2;

* Lời giải:

Ta có: -1 ≤ sin α ≤ 1 với mọi α ∈ R.

a) Vì -1 < –0,7 < 1 nên tồn tại cung α thỏa mãn sinα = -0,7.

+ Cách dựng:

 Trên trục tung xác định kiểm K sao cho Từ K kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung cắt đường tròn lượng giác tại hai điểm M₁ và M₂.

 Khi đó với α = sđ hoặc α = sđ khi đó, theo định nghĩa 

b) Vì 4/3 > 1 nên không tồn tại α để sinα = 4/3.

c) Vì (-√2) < -1 nên không tồn tại α để sinα = -√2.

d) Vì (√5)/2 > 1 nên không tồn tại α để sinα = √5/2.

* Bài 2 trang 148 SGK Đại Số 10: Các đẳng thức sau đây có thể đồng thời xảy ra không?

a)  và 

b)  và 

c) sinα = 0,7 và cosα = 0,3

* Lời giải:

- Vận dụng công thức: sin²α + cos²α = 1, ∀α ∈ R.

a)  và 

- Ta có: 

Do đó KHÔNG TỒN TẠI α ∈ R để  và 

b)  và 

- Ta có: 

Do đó TỒN TẠI α ∈ R để  và 

c) sinα = 0,7 và cosα = 0,3

- Ta có: 0,7² + 0,3² = 0,49 + 0,09 = 0,58 ≠ 1

Do đó KHÔNG TỒN TẠI α ∈ R để sinα = 0,7 và cosα = 0,3

* Bài 3 trang 148 SGK Đại Số 10: Cho 0 < α < π/2. Xác định dấu của các giá trị lượng giác.

a) sin(α – π)          b) 

c)           d) 

* Lời giải:

- Vì 0 < α < π/2 (góc phần tư thứ I) nên sin α > 0, cos α > 0, tan α > 0, cot α > 0.

• Cách 1: Dựa vào mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

a) sin(α – π) = -sin(π – α) (áp dụng công thức sin(-α) = -sinα)

= -sinα (áp dụng công thức sin (π – α) = sinα).

 b) =-sinα

(áp dụng công thức cos(π + α)=-cosα và công thức cos(π/2 - α) = sinα)

Mà sinα > 0 nên suy ra <0

c) tan (α + π) = tan α.

Mà tan α > 0 nên tan (α + π) > 0.

d)  

(áp dụng công thức  và công thức tan(-α) = -tan α).

Mà  tanα > 0 nên <0

* Cách 2: Dựa vào biểu diễn cung trên đường tròn lượng giác. Vì 0 < α < π/2 nên ta biểu diễn α = sđ  như trên hình vẽ.

a) α – π = sđ nên suy ra  

Các em làm tương tự các câu còn lại.

* Bài 4 trang 148 SGK Đại Số 10: Tính các giá trị lượng giác của góc α nếu

a)  và 

b) 

c) 

d) 

* Lời giải:

a)  và 

- Áp dụng công thức: sin²α + cos²α = 1

Mà 0<α<π/2 nên sinα > 0 nên 

+ Ta có:  

+ Ta có: 

b) Vận dụng công thức: sin²α + cos²α = 1

Tính tương tự câu a)

c) Vận dụng công thức: 

d) Vận dụng công thức: 

* Bài 5 trang 148 SGK Đại Số 10: Tính α, biết

a) cosα = 1;          b) cosα = -1;          c) cosα = 0

d) sinα = 1;         e) sinα = -1;          f) sinα = 0

* Lời giải:

- Dựa vào đường tròn lượng giác:

a) cosα = 1 ⇔ M≡A ⇔ α = k2π, k ∈ Z.

b) cosα = -1 ⇔ M≡A' ⇔ α = π + k2π = (2k + 1)π, k ∈ Z.

c) cosα = 0 ⇔ M≡B hoặc M≡B' ⇔ α = π/2 + m2π hoặc α = -π/2 + n2π 

 ⇔ α = π/2 + kπ, k ∈ Z.

d) sinα = 1 ⇔ M≡B ⇔ α = π/2 + k2π, k ∈ Z.

e) sinα = -1 ⇔ M≡B' ⇔ α = -π/2 + k2π = (2k+1)π, k ∈ Z.

f) sinα = 0 ⇔ M≡A hoặc M≡A' ⇔ α = m2π hoặc α = (2n + 1)π 

 ⇔ α = kπ, k ∈ Z.