Viết phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm với đường tròn (C) - Hình học 10

Khối A (KhoiA) sẽ giới thiệu với các em cách viết viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi qua một điểm trong bài này một cách ngắn gọn, chi tiết và đẩy đủ để các em tham khảo.

I. Cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi qua 1 điểm

Giả sử đường tròn (C) có tâm I(a; b); bán kính R và điểm M(x₀; y₀):

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm M:Để viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) đi qua 1 điểm ta thực hiện như sau:

- Bước 1: Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C)

- Bước 2: Tiếp tuyến (Δ) có vectơ pháp tuyến  và đi qua điểm M(x₀; y₀) nên (Δ) có dạng: A(x - x₀) + B(y - y₀) = 0 (với A² + B² ≠ 0)

- Bước 3: Vì (Δ) tiếp xúc với (C) nên khoảng cách: d(I;(Δ)) = R.

Giải phương trình này ta tìm được A và B.

II. Bài tập vận dụng viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn đi qua 1 điểm

* Bài tập 1: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn (C): x² + y² - 4x - 4y + 4 = 0, biết tiếp tuyến đi qua điểm A(4; 6).

> Lời giải:

- Đường tròn (C) có tâm I(2; 2) và bán kính 

- Tiếp tuyến ∆ đia qua điểm A(4; 6) và có vectơ pháp tuyến  có phương trình dạng:

 A(x - 4) + B(y - 6) = 0

 ⇔ Ax + By - 4A - 6B = 0 (*)

- Vì ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C) nên khoảng cách: d(I; ∆) = R

- Nếu b = 0; chọn a = 1 thay vào (*) ta được ∆₁: x - 4 = 0.

- Nếu 4a = - 3b ta chọn a = 3 thì b = -4 thay vào (*) ta được ∆₂: 3x - 4y + 12 = 0

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là: x - 4 = 0 và 3x - 4y + 12 = 0.

* Bài tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn (C): (x - 1)² + (y + 2)² = 8, biết tiếp tuyến đi qua điểm A(5; -2).

> Lời giải:

- Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) và bán kính R = 2√2

- Tiếp tuyến đi qua điểm A(5; -2) và có vectơ pháp tuyến  có phương trình dạng:

 A(x - 5) + B(y + 2) = 0

 ⇔ Ax + By - 5A + 2B = 0 (*)

- Vì ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C) nên khoảng cách: d(I; ∆) = R

⇔ 16A² = 8(A² + B²)

⇔ 8A² = 8B²

⇔ A = B hoặc A = -B

+ Nếu A = B; ta chọn A = 1 ⇒ B = 1. Khi đó phương trình tiếp tuyến ∆: x + y - 3 = 0

+ Nếu A = -B; chọn A = 1 thì B = -1. Khi đó phương trình tiếp tuyến ∆: x - y - 7 = 0.

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là x + y - 3 = 0 và x - y - 7 = 0.

> Lưu ý: Thường người ta phân biệt phương trình tiếp tuyến TẠI 1 điểm (tức điểm này thuộc đường tròn) và ĐI QUA 1 điểm (điểm này không thuộc đường tròn).

Tuy nhiên, đôi khi vẫn xảy ra trường hợp yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm nhưng điểm này lại thuộc đương tròn như câu b) bài 6 trang 84 SGK Hình học 10 sau đây.

* Bài 6 trang 84 SGK Hình học 10: Cho đường tròn C có phương trình: x² + y² – 4x + 8y – 5 = 0.

b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A(-1; 0).

> Lời giải:

- Ta có: x² + y² – 4x + 8y – 5 = 0

⇔ (x² – 4x + 4) + (y² + 8y + 16) = 25

⇔ (x – 2)² + (y + 4)² = 25.

Vậy (C) có tâm I(2; –4), bán kính R = 5.

- Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường tròn ta thấy:

(–1 – 2)² + (0 + 4)² = 3² + 4² = 5²= R²

⇒ A thuộc đường tròn (C)

Nên tiếp tuyến (d') cần tìm tiếp xúc với (C) tại A, ta áp dụng các viết phương trình tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn.

⇒ (d') là đường thẳng đi qua A(-1; 0) và vuông góc với IA nên nhận

 là VTPT.

⇒ phương trình (d') có dạng: 3(x + 1) – 4(y - 0)= 0

⇔ 3x – 4y + 3 = 0.