Viết phương trình đường tròn đi qua 2 điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng delta - Toán lớp 10

Nội dung bài viết này sẽ giúp các em biết các bước cơ bản để viết phương trình đường tròn đi qua 2 điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng delta.

I. Cách viết phương trình đường tròn đi qua 2 điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng delta

Cho đường tròn (C) đi qua 2 điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng delta. Để viết phương trình đường tròn (C) ta thực hiện các bước sau.

• Bước 1: Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB

• Bước 2: Tìm tâm I của (C) thỏa: I ∈ (d) và R = d(I,Δ) = IA

• Bước 3: Viết phương trình đường tròn tâm I bán kính R = IA.

II. Ví dụ viết phương trình đường tròn đi qua 2 điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng delta

* Ví dụ 1: Cho 2 điểm A(-1;0), B(1;2) và đường thẳng delta (Δ): x – y – 1 = 0. Viết phương trình đường tròn đi qua 2 điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng delta.

* Lời giải:

- Gọi I(x,y) là tâm của đường tròn cần tìm.

- Từ điều kiện đề bài ta có:

 IA = IB = R ⇔ (x + 1)² + y² = (x - 1)² + (y - 2)²  (1)

Lại có: IA² = [d(I,Δ)]² 

  (2)

Giải hệ gồm 2 phương trình (1) và (2) ta được x = 0, y = 1

Vậy I(0;1); R = IA = √2.

Phương trình đường tròn có dạng: x² + (y - 1)² = 2.

* Ví dụ 2: Cho 2 điểm A(1; 2); B(3;4) và đường thẳng delta (Δ): 3x + y - 3 = 0. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 2 điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng delta. (biết tâm của  (C) có tọa độ là những số nguyên)

* Lời giải:

- Ta có: 

- Tọa độ điểm M của AB là:

Đường tròn tâm I đi qua A và B nên IA = IB (tức tâm I thuộc đường trung trực của AB)

Đường trung trực (d) của đoạn AB qua M(2; 3) và nhận  là vectơ pháp tuyến có phương trình:

 1.(x - 2) + 1(y - 3) = 0

⇔ x + y - 5 = 0

Vì I ∈ (d) nên ta có: I(a; 5 - a), a ∈ Z (tọa độ I nguyên)

- Ta có: R = IA = d(I;Δ)

Vậy phương trình đường tròn là:

(x - 4)² + (y - 1)² = 10

⇔ x² + y² - 8x - 2y + 7 = 0.