Bất phương trình, Hệ bất phương trình một ẩn Bài tập và Cách giải - Toán lớp 10

10:56:3530/12/2020

Có thể nói bất phương trình và hệ bất phương trình là dạng toán thường gây "khó chịu" cho chúng ta bởi có khá nhiều bài toán làm ta "bó tay" nếu không nắm vững lý thuyết và có kỹ năng giải nhuần nhuyễn (biến đổi và vận dụng linh hoạt các công thức và định lý).

Ở bài viết này chúng ta cùng ôn lại kiến thức về bất phương trình, hệ bất phương trình một ẩn, khi đã nắm vững nội dung lý thuyết chúng ta sẽ giải các bài tập vận dụng để rèn kỹ năng giải toán của bản thân.

I. Khái niệm phương trình một ẩn

1. Bất phương trình một ẩn

° Bất phương trình một ẩn là một mệnh đề chứa biến có một trong các dạng: f(x)>g(x), f(x)<g(x), f(x)≥g(x), f(x)≤g(x). Trong đó: f(x), g(x) là các biểu thức cùng một biến x.

° Giá trị x₀ thỏa mãn điều kiện xác định làm cho f(x₀)<g(x₀) là một mệnh đề đúng thì x₀ là một nghiệm của bất phương trình f(x)<g(x)

2. Điều kiện xác định của bất phương trình

° Điều kiện xác định của bất phương trình là điều kiện biến số x để các biểu thức f(x), g(x) có nghĩa.

* Ví dụ: Bất phương trình: $\sqrt{5-x}+\sqrt{x+3}\leq x^2$ có điều kiện xác định là: 5 - x ≥ 0 và x + 3 ≥ 0.

3. Bất phương trình chứa tham số

° Trong bất phương trình, ngoài ẩn số còn có thể có tham số được xem như hằng số. Giải biện luận phương trình chứa tham số là xét xem với các giá trị nào của tham số để bất phương trình vô nghiệm hoặc có nghiệm, tìm các nghiệm đó.

* Ví dụ: (2m-5)x + 8 > 0; x² -mx + 2m - 1 ≤ 0. là các bất phương trình ẩn x tham số m.

II. Hệ bất phương trình một ẩn

° Việc tìm tập hợp các nghiệm chung của một tập hợp các bất phương trình một ẩn, ký hiệu:

$\left\{\begin{matrix} f_1(x)<g_1(x)\\ f_2(x)<g_2(x)\\ ...\\ f_n(x)<g_n(x) \end{matrix}\right.$ là xét một hệ bất phương trình một ẩn.

° Giải hệ bất phương trình bằng cách tìm giao các tập hơp nghiệm của bất phương trình của hệ.

III. Bất phương trình tương đương

° Hai bất phương trình f₁(x) < g₁(x) và f₂(x) < g₂(x) được gọi là tương đương, ký hiệu:

f₁(x) < g₁(x) ⇔ f₂(x) < g₂(x) nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm.

° Định lý: Gọi D là điều kiện xác định của bất phương trình f(x) < g(x), h(x) là biể thức xác định với mọi x ∈ D thì:

i) f(x) + h(x) < g(x) + h(x) ⇔ f(x) < g(x).

Hệ quả:

f(x) < g(x) + p(x) ⇔ f(x) - g(x) < p(x)

ii) f(x).h(x) < g(x).h(x) ⇔ f(x) < g(x) nếu h(x)>0 với mọi x ∈ D.

f(x).h(x) < g(x).h(x) ⇔ f(x) > g(x) nếu h(x)<0 với mọi x ∈ D.

IV. Bài tập về bất phương trình, hệ bất phương trình một ẩn

* Bài 1 trang 87 SGK Đại Số 10: Tìm các giá trị x thỏa mãn điều kiện của mỗi bất phương trình sau:

$a): frac{1}{x}<1-frac{1}{x+1}$ $b): frac{1}{x^2-4}leq frac{2}{x^2-4x+3}$

$c): 2|x|-1+sqrt[3]{x-1}<frac{2x}{x+1}$ $d): 2sqrt{1-x}>3x+frac{1}{x+4}$

* Lời giải:

$a): frac{1}{x}<1-frac{1}{x+1}$

- BPT xác định khi: left{egin{matrix} x
eq 0 x+1
eq 0 end{matrix}
ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x
eq 0 x
eq 1 end{matrix}
ight.

→ Vậy tập giá trị của x thỏa mãn điều kiện xác định là: D = R{0;–1}.

$b): frac{1}{x^2-4}leq frac{2}{x^2-4x+3}$

- BPT xác định khi: $left{egin{matrix} x^2-4 eq 0 x^2-4x+3 eq 0 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} (x-2)(x+2) eq 0 (x-1)(x-3) eq 0 end{matrix} ight.$ Leftrightarrow left{egin{matrix} x
eq 2 x
eq -2 x
eq 1 x
eq 3 end{matrix}
ight.

→ Vậy tập giá trị của x thỏa mãn điều kiện xác định là D = R{–2;1;2;3}

$c): 2|x|-1+sqrt[3]{x-1}<frac{2x}{x+1}$

- BPT xác định khi: x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ –1.

→ Vậy tập giá trị của x thỏa mãn điều kiện xác định là D = R{–1}

$d): 2sqrt{1-x}>3x+frac{1}{x+4}$

- BPT xác định khi: left{egin{matrix} 1-xgeq 0 x+4
eq 0 end{matrix}
ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} xleq 1 x
eq -4 end{matrix}
ight.

→ Vậy tập giá trị của x thỏa mãn điều kiện xác định là D = (–∞; 1]{–4}.

* Bài 2 trang 88 SGK Đại Số 10: Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm:

$a): x^2+sqrt{x+8}leq -3$

$b): sqrt{1+2(x-3)^2}+sqrt{5-4x+x^2}<frac{3}{2}$

$c):sqrt{1+x^2}-sqrt{7+x^2}geq 1$

* Lời giải:

$a): x^2+sqrt{x+8}leq -3$

- Điều kiện BPT xác định: x ≥ –8

Ta có: $x^2geq 0;: sqrt{x+8}geq 0$ $Rightarrow x^2+ sqrt{x+8}geq 0,: forall xgeq -8$

- Do đó BPT $x^2+sqrt{x+8}leq -3$ vô nghiệm.

$b): sqrt{1+2(x-3)^2}+sqrt{5-4x+x^2}<frac{3}{2}$

- Điều kiện xác định: D = R.

- Ta có: 1+2(x-3)^2geq 1+0=1 $Rightarrow sqrt{1+2(x-3)^2}geq sqrt{1}=1$ (*)

- Lại có: 5-4x+x^2=1+(4-4x+x^2) =1+(2-x)^2geq 1+0=1

$Rightarrow sqrt{5-4x+x^2}geq sqrt{1}=1$ (**)

- Từ (*) và (**) có:

$sqrt{1+2(x-3)^2}+sqrt{5-4x+x^2}geq 1+1=2>frac{3}{2}$ với mọi x ∈ R.

- Do đó: $sqrt{1+2(x-3)^2}+sqrt{5-4x+x^2}<frac{3}{2}$ vô nghiệm.

$c):sqrt{1+x^2}-sqrt{7+x^2}geq 1$

- Điều kiện xác định (tập xác định): D = R.

- Ta có: $x^2+1<x^2+7Rightarrowsqrt{ x^2+1}<sqrt{x^2+7}$ $Rightarrowsqrt{ x^2+1}-sqrt{x^2+7}<0$ với mọi x∈R.

- Do đó: $sqrt{ x^2+1}-sqrt{x^2+7}>1$ vô nghiệm

* Bài 3 trang 88 SGK Đại Số 10: Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương?

a) -4x + 1 > 0 và 4x - 1 < 0

b) 2x² + 5 ≤ 2x - 1 và 2x² - 2x + 6 ≤ 0

c) $x+1>0: vagrave{}: x+1+frac{1}{x^2+1}>frac{1}{x^2+1}$

d) sqrt{x+1}geq x : vagrave{}: (2x+1)sqrt{x+1}geq x(2x+1)

* Lời giải:

a) Nhân hai vế của BPT: –4x + 1 > 0 với (–1) < 0 ta được BPT: 4x – 1 < 0 nên hai BPT đó tương đương, viết là:

–4x + 1 > 0 ⇔ 4x – 1 < 0.

b) Ta có: 2x² + 5 ≤ 2x – 1

⇔ 2x² + 5 + 1 – 2x ≤ 2x – 1 + 1 – 2x (Cộng cả hai vế của BPT với 1 – 2x).

⇔ 2x² – 2x + 6 ≤ 0.

Vậy hai BPT đã cho tương đương: 2x² + 5 ≤ 2x – 1 ⇔ 2x² – 2x + 6 ≤ 0.

c) Với mọi x ta có: x² ≥ 0 nên x² + 1 > 0 với mọi x.

Do đó, 1/(x²+1) luôn xác định với mọi x.

- Ta có: x + 1 > 0 nên cộng 2 vế củ BPT với 1/(x²+1) ta được:

$x+1>0 Leftrightarrow x+1+frac{1}{x^2+1}>frac{1}{x^2+1}$

d) Điều kiện x ≥ 1, khi đó 2x + 1 > 0.

- Ta có: sqrt{x-1}geq x nên nhân 2 vế BPT với (2x+1)>0 ta được:

sqrt{x+1}geq xLeftrightarrow (2x+1)sqrt{x+1}geq x(2x+1)

* Bài 4 trang 88 SGK Đại Số 10: Giải các bất phương trình sau:

$a): frac{3x+1}{2}-frac{x-2}{3}<frac{1-2x}{4}$

b): (2x-1)(x+3)-3x+1leq (x-1)(x+3)+x^2-5

* Lời giải:

$a): frac{3x+1}{2}-frac{x-2}{3}<frac{1-2x}{4}$ (1)

- Tập xác định: D=R.

$(1)Leftrightarrow frac{6(3x+1)-4(x-2)}{12}<frac{3(1-2x)}{12}$

⇔ 18x + 6 - 4x + 8 < 3 - 6x

⇔ 20x < -11 ⇔ x < -11/20

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = (-∞;-11/20).

b) (2x – 1)(x + 3) – 3x + 1 ≤ (x – 1)(x + 3) + x² – 5

⇔ 2x² + 6x - x – 3 – 3x + 1 ≤ x² + 3x - x – 3 + x² – 5

⇔ 2x² + 2x – 2 ≤ 2x² + 2x – 8

⇔ 6 ≤ 0 (Vô lý).

Vậy BPT vô nghiệm.

* Bài 5 trang 88 SGK Đại Số 10: Giải hệ bất phương trình sau:

$a): left{egin{matrix} 6x+frac{5}{7}<4x+7\ frac{8x+3}{2}<2x+5 end{matrix} ight.$ $b): left{egin{matrix} 15x-2>2x+frac{1}{3}\ 2(x-4)<frac{3x-14}{2} end{matrix} ight.$

* Lời giải:

$a): left{egin{matrix} 6x+frac{5}{7}<4x+7\ frac{8x+3}{2}<2x+5 end{matrix} ight.$

- Tập xác định: D = R. Giải từng bất phương trình ta có:

$6x+frac{5}{7}<4x+7Leftrightarrow 6x-4x<7-frac{5}{7}$ $Leftrightarrow 2x<frac{44}{7}Leftrightarrow x<frac{22}{7}$

$frac{8x+3}{2}<2x+5Leftrightarrow 8x+3<2(2x+5)$ $Leftrightarrow 8x-4x<10-3Leftrightarrow 4x<7Leftrightarrow x<frac{7}{4}$

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là:

$S=left ( -infty ;frac{22}{7} ight )capleft ( -infty ;frac{7}{4} ight )=left ( -infty ;frac{7}{4} ight )$

$b): left{egin{matrix} 15x-2>2x+frac{1}{3}\ 2(x-4)<frac{3x-14}{2} end{matrix} ight.$

- Tập xác định D = R. Giải từng bất phương trình:

$15x-2>2x+frac{1}{3}Leftrightarrow 13x>frac{7}{3}Leftrightarrow x>frac{7}{39}$

$2(x-4)<frac{3x-14}{2}Leftrightarrow 4x-16<3x-14$ Leftrightarrow 4x-3x<16-14Leftrightarrow x<2

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là:

$S=left ( frac{7}{39};+infty ight )cap left ( -infty ;2 ight )=left ( frac{7}{39};2 ight )$

Tóm lại, với kiến thức về bất phương trình, hệ bất phương trình một ẩn các em cần làm thật nhiều bài tập để vừa dễ ghi nhớ các công thức và rèn kỹ năng giải toán được tốt nhất.

Bất phương trình, Hệ bất phương trình một ẩn Bài tập và Cách giải - Toán lớp 10

Tags

Đánh giá & nhận xét