Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng Hằng Đẳng Thức - Toán 8 bài 7

Để phân tích đa thức thành nhân tử bằng các hằng đẳng thức đáng nhớ điều đầu tiên là các em phải thuộc lòng các hằng đẳng thức, ở bài viết này chúng ta xem việc vận dụng các hằng đẳng thức để phân tích thành nhân tử như thế nào?

• Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức ta cần: 

- Đưa đa thức cần phân tích về dưới dạng của hằng đẳng thức, sau đó phân tích thành nhân tử bằng các hằng đẳng thức.

> Lưu ý: 

- Đầu tiên cần xét xem các hạng tử của đa thức có chứa nhân tử chung không ? Nếu có thì áp dụng phương pháp đặt thành nhân tử chung.

- Nếu không có nhân tử chung thì ta xét xem có thể áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích thành nhân tử hay không?

• Bài tập vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử

* Bài 47 trang 22 SGK Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x² –xy + x – y

b) xz + yz – 5(x + y)

c) 3x² – 3xy – 5x + 5y

* Lời giải:

a) x² – xy + x – y

• Cách 1: (Nhóm hai hạng tử thứ 1 và thứ 2, hạng tử thứ 3 và thứ 4)

 = (x² – xy) + (x – y)

 (Nhóm thứ nhất có nhân tử chung là x)

 = x(x – y) + (x – y)

 (Xuất hiện nhân tử chung x – y)

 = (x + 1)(x – y)

• Cách 2: (Nhóm hạng tử thứ 1 và thứ 3 ; hạng tử thứ 2 và thứ 4)

- Ta có: x² – xy + x – y

 = (x² + x) – (xy + y)

 (nhóm thứ nhất có nhân tử chung là x ; nhóm thứ hai có nhân tử chung là y)

 = x.(x + 1) – y.(x + 1)

 (Xuất hiện nhân tử chung x + 1)

 = (x – y)(x + 1)

b) xz + yz – 5(x + y)

 = (xz + yz) – 5(x + y)

 (Nhóm thứ nhất có nhân tử chung là z ; nhóm thứ hai có nhân tử chung là 5)

 = z(x + y) – 5(x + y)

 (Xuất hiện nhân tử chung là x + y)

 = (z – 5)(x + y)

c) 3x² – 3xy – 5x + 5y

• Cách 1: Nhóm hai hạng tử đầu tiên với nhau và hai hạng tử cuối với nhau:

 = (3x² – 3xy) – (5x – 5y)

 (Nhóm thứ nhất có nhân tử chung là 3x ; nhóm thứ hai có nhân tử chung là 5)

 = 3x(x – y) – 5(x – y)

 = (x – y)(3x – 5)

• Cách 2: Nhóm hạng tử thứ 1 với hạng tử thứ 3; hạng tử thứ 2 với hạng tử thứ 4:

- Ta có: 3x² – 3xy – 5x + 5y

 = (3x² – 5x) – (3xy – 5y)

 (Nhóm thứ nhất có nhân tử chung là x, nhóm thứ hai có nhân tử chung là y)

 = x.(3x – 5) – y.(3x – 5)

 (Xuất hiện nhân tử chung 3x – 5)

 = (x – y).(3x – 5).

* Bài 48 trang 22 SGK Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x² + 4x –y² + 4

b) 3x² + 6xy + 3y² – 3z²

c) x² – 2xy + y² – z² + 2zt – t²

* Lời giải:

a) x² + 4x –y² + 4

 (ta nhận thấy x² + 4x + 4 là hằng đẳng thức nên ta nhóm với nhau)

 = (x² + 4x + 4) – y²

 = (x + 2)² – y² (xuất hiện hằng đẳng thức (3) dạng A² - B²)

 = [(x + 2) – y].[(x + 2) + y]

 = (x - y + 2).(x + y + 2)

b) 3x² + 6xy + 3y² – 3z²

 = 3.(x² + 2xy + y² – z²)

 (ta thấy xuất hiện hằng đẳng thức dạng (A + B)² = A² + 2AB + B² tương ứng trong bài là x² + 2xy + y² = (x + y)² nên ta nhóm với nhau)

 = 3[(x² + 2xy + y²) – z²]

 = 3[(x + y)² – z²]

(xuất hiện hằng đẳng thức dạng A² - B² tương ứng trong bài là (x+y)² - z²)

 = 3(x + y – z)(x + y + z)

c) x² – 2xy + y² – z² + 2zt – t²

(ta nhận thấy x² – 2xy + y² và z² – 2zt + t² là các hằng đẳng thức dạng (A - B)²)

= (x² – 2xy + y²) – (z² – 2zt + t²)

= (x – y)² – (z – t)² (xuất hiện hằng đẳng thức dang A² - B²)

= [(x – y) – (z – t)][(x – y) + (z – t)]

= (x – y – z + t)(x – y + z –t)

[SCRIPT_ADS_READ]

* Bài 49 trang 22 SGK Toán 8 Tập 1: Tính nhanh

a) 37,5.6,5 – 7,5.3,4 – 6,6.7,5 + 3,5.37,5

b) 45² + 40² – 15² + 80.45

* Lời giải:

a) 37,5.6,5 – 7,5.3,4 – 6,6.7.5 + 3,5.37,5

(hạng tử đầu tiên và cuối cùng đều có nhân tử 37,5; hai hạng tử giữa đều có nhân tử 7,5 nên ta đặt nhân tử chung)

 = (37,5.6,5 + 3,5.37,5) – (7,5.3,4 + 6,6.7,5)

 = 37,5(6,5 + 3,5) – 7,5(3,4 + 6,6)

 = 37,5.10 – 7,5.10

 = 375 – 75 = 300

b) 45² + 40² – 15² + 80.45

 = 45² + 80.45 + 40² – 15²

 = 45² + 2.45.40 + 40² – 15²

(xuất hiện hằng đẳng thức dạng (A + B)² = A² + 2AB + B² tương ứng A = 45 và B = 40)

 = (45 + 40)² – 15²

 = 85² – 15²

(xuất hiện HĐT dạng A² - B² = (A - B)(A + B) tương ứng A = 85 và B = 15)

 = (85 – 15)(85 + 15)

 = 70.100 = 7000.

* Bài 50 trang 23 SGK Toán 8 Tập 1: Tính nhanh

a) x(x – 2) + x – 2 = 0

b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0

* Lời giải:

a) x(x – 2) + x – 2 = 0

(xuất hiện nhân tử chung x – 2)

 ⇔ (x – 2)(x + 1) = 0

 ⇔ x – 2 = 0 hoặc x + 1 = 0

+TH1: x – 2 = 0 ⇔ x = 2

+TH2: x + 1 = 0 ⇔ x = –1

⇒ Kết luận: Vậy x = – 1 hoặc x = 2.

b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0

 ⇔ 5x(x – 3) – (x – 3) = 0

(Xuất hiện nhân tử chung x – 3)

 ⇔ (x – 3)(5x – 1) = 0

 ⇔ x – 3 = 0 hoặc 5x – 1= 0

+TH1: x – 3 = 0 ⇔ x = 3

+TH2: 5x – 1 = 0 ⇔ 5x = 1 ⇔ x = 1/5

⇒ Kết luận: Vậy x = 3 hoặc x = 1/5.