Bài tập về các hằng đẳng thức đáng nhớ: bình phương của một tổng, một hiệu và hiệu hai bình phương - Toán 8 bài 3 tập 1

Để ghi nhớ và rèn luyện kỹ năng sử dụng và biến đổi linh hoạt các hằng đẳng thức này chúng ta cùng đi vào giải một số bài tập vận dụng các hằng đẳng thức này.

• Công thức hằng đẳng thức đáng nhớ: Bình phương một tổng, một hiệu và hiệu hai bình phương

Dưới đây là nội dung bài tập vận dụng các hằng đẳng thức: Bình phương của một tổng, Bình phương của một hiệu và Hiệu hai bình phương.

* Bài 16 trang 11 SGK Toán 8 Tập 1: Viết các biểu thức sau đây dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) x² + 2x + 1

b) 9x² + y² + 6xy

c) 25a² + 4b² – 20ab

> Lời giải:

a) x² + 2x + 1= x² + 2.x.1 + 1² = (x + 1)² 

(Ta áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng với A = x và B = 1).

b) 9x² + y² + 6xy = 9x² + 6xy + y²

= (3x)² + 2.3x.y + y² = (3x + y)² 

(Ta áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng với A = 3x và B = y).

c) 25a² + 4b² – 20ab = 25a² – 20ab + 4b²

= (5a)² – 2.5a.2b + (2b)² = (5a – 2b)² 

(Ta áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu với A = 5a và B = 2b).

(Ta áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu với A = x và B = 1/2).

* Bài 17 trang 11 SGK Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng: (10a + 5)² = 100a . a(a + 1) + 25.

Từ đó em hãy nêu cách tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 5.

Áp dụng để tính: 25²; 35²; 65²; 75².

> Lời giải:

- Ta có: (10a + 5)² = (10a)² + 2.10a.5 + 5²

 = 100a² + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25

* Cách để tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 5 là:

- Bước 1: Tìm số tự nhiên a, sao cho số đã cho viết được dưới dạng 10a + 5 tức là có dạng  (ví dụ số 35 thì a = 3)

- Bước 2: Lấy a nhân với (a + 1) rồi nhân với 100 sau đó cộng với 25.

- Áp dụng tính:

 25² , ta được a = 2 nên 25² = 2.(2 + 1).100 + 25 = 625

 35², ta được a = 3 nên 35² = 3.(3 + 1).100 + 25 = 1225

 65², ta được a = 6 nên 35² = 6.(6 + 1).100 + 25 = 4225

 75², ta được a = 7 nên 35² = 7.(7 + 1).100 + 25 = 5625.

* Bài 18 trang 11 SGK Toán 8 Tập 1: Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại những hằng đẵng thức bị mực làm nhòe đi một số chỗ:

a) x² + 6xy + ... = ( ... + 3y)²

b) ... - 10xy + 25y² = ( ... - ...)²

Hãy nêu một đề bài tương tự.

> Lời giải:

a) Dễ dàng nhận thấy đây là hằng đẳng thức bình phương của một tổng với A = x;

2.AB = 6xy ⇒ B = 3y.

Vậy ta có hằng đẳng thức:

x² + 2.x.3y + (3y)² = (x + 3y)²

hay x² + 6xy + 9y² = (x + 3y)²

b) Nhận thấy đây là hằng đẳng thức bình phương của một hiệu với :

B² = 25y² = (5y)² ⇒ B = 5y

2.AB = 10xy = 2.x.5y ⇒ A = x.

Vậy ta có hằng đẳng thức : x² – 10xy + 25y² = (x – 5y)²

c) Đề bài tương tự:

4x² + 4xy + ... = (... + y²)

... – 8xy + y² = ( ...– ...)²

* Bài 19 trang 12 SGK Toán 8 Tập 1: Đố. Tính diện tích phần hình còn lại mà không cần đo.

Từ một miếng tôn hình vuông có cạnh bằng a + b, bác thợ cắt đi một miếng cũng hình vuông có cạnh bằng a – b (cho a > b). Diện tích phần hình còn lại là bao nhiêu? Diện tích phần hình còn lại có phụ thuộc vào vị trí cắt không?

> Lời giải:

- Diện tích của miếng tôn ban đầu là (a + b)².

- Diện tích của miếng tôn phải cắt là : (a – b)².

- Phần diện tích còn lại (a + b)² – (a – b)².

Ta có: (a + b)² – (a – b)²

= (a² + 2ab + b²) – ( a² – 2ab + b² )

= a² + 2ab + b² – a² + 2ab – b²

= 4ab

Hoặc: (a + b)² – (a – b)²

= [(a + b) + (a – b)].[(a + b) – (a – b)] (Áp dụng hằng đẳng thức (3))

= 2a.2b = 4ab.

Vậy phần diện tích hình còn lại là 4ab và không phụ thuộc vào vị trí cắt.