Các hằng đẳng thức đáng nhớ: Lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu - Toán 8 bài 4 tập 1

Bài này chúng ta tiếp tục tìm hiểu về các hằng đẳng thức: Lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu. Ở bài trước các hằng đẳng thức là 1,2,3 tiếp theo số thứ tự đó ta có:

• Bài tập vận dụng hằng đẳng thức lập phương của một tổng hay một hiệu

4. Lập phương của một tổng

• Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³.

• Phát biểu hằng đẳng thức lập phương của một tổng: Lập phương của tổng hai biểu thức bằng tổng của lập phương biểu thức thứ nhất, ba lần tích của bình phương biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ hai, ba lần tích của biểu thức thứ nhất và bình phương biểu thức thứ hai và lập phương biểu thức thứ hai.

* Ví dụ:

a) Tính (x + 1)³

b) Tính (2x + y)³

> Lời giải:

- Ta có: (x + 1)³ = x³ + 3.x².1 + 3.x.1² + 1³ = x³ + 3x² + 3x + 1.

- Ta có: (2x + y)³ = (2x)³ + 3.(2x)².y + 3.2x.(y)² + y³ = 8x³ +12x²y + 6xy² + y³

5. Lập phương của một hiệu

• Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A - B)³ = A³ - 3A²B + 3AB² - B³.

• Phát biểu hằng đẳng thức lập phương của một hiệu: Lập phương của hiệu hai biểu thức bằng lập phương biểu thức thứ nhất trừ đi ba lần tích của bình phương biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ hai, sau đó cộng ba lần tích của biểu thức thứ nhất và bình phương biểu thức thứ hai rồi trừ đi lập phương biểu thức thứ hai.

* Ví dụ:

a) Tính 

b) Tính (x - 2y)³

c) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

1) (2x - 1)² = (1 - 2x)²;

2) (x - 1)³ = (1 - x)³;

3) (x + 1)³ = (1 + x)³;

4) x² - 1 = 1 - x²;

5) (x - 3)² = x² - 2x + 9.

Em có nhận xét gì về quan hệ (A - B)² với (B - A)²; của (A - B)³ với (B - A)³?

> Lời giải:

a)

b) (x - 2y)³ = x³ -3.x².2y + 3x.(2y)² - (2y)³

= x³ - 6x²y + 12xy² - 8y³

c) Ta có:

1) (2x - 1)² = (2x)² -2.2x.1 + 1² 

 = 1² -2.2x.1 + (2x)² = (1 - 2x)² 

Nên 1) đúng.

2) (x - 1)³ = x³ - 3x² + 3x - 1

 (1 - x)³ = 1 + 3x - 3x² - x³ 

⇒ (x - 1)³ = -(1 - x)³

Nên 2) sai

3) Đúng do tính chất giao hoán của phép cộng

4) Sai do x² - 1 = -(1 - x²)

5) Sai do: (x - 3)² = x² - 2.x.3 + 3² = x² - 6x + 9 ≠ (x² - 2x + 9).