Phân tích đa thức thành nhân tử, 8 cách phân tích đa thức thành nhân tử và ví dụ minh hoạ Toán lớp 8

Phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những dạng toán thường gặp trong nội dung Toán lớp 8. Vậy cách phân tích đa thức thành nhân tử gồm các bước nào? dưới đây là 8 phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thường gặp mà KhoiA tổng hợp để bạn tiện tham khảo.

1. Phương pháp đặt nhân tử chung

– Trong đa thức có nhiều hạng tử, ta tìm xem chúng có nhân tử chung là gì.

– Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và nhân tử khác.

– Đặt nhân tử chung ra ngoài, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng).

* Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

A = 9x⁴y³ + 3x²y⁴

 = 3x²y³.3x² + 3x²y³y

 = 3x²y³(3x² + 1)

2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức

Ở phương pháp này, ta vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc lũy thừa của một đa thức đơn giản.

* Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

A = x² + 6x + 9

 = x² + 2.x.3 + 3² = (x + 3 )².

(Áp dụng hằng đẳng thức (A + B )² = A² + 2AB + B² )

3. Phương pháp nhóm hạng tử

Phương pháp này thường được vận dụng khi không thể phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung hay bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.

– Ta xem trong đa thức đó, có những hạng tử nào có thể nhóm lại với nhau. 

– Sau đó phân tích chúng thành các đơn thức, đa thức đơn giản hơn. 

– Đặt thừa số chung, có thể sử dụng hằng đẳng thức để phân tích. 

* Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

B = x² – 2xy + xy² – 2y³ 

= (x² – 2xy) + (xy² – 2y³)

= x(x – 2y) + y²(x – 2y)

= (x + y²)(x – 2y)

4. Phương pháp tách hạng tử

Ta có thể tách 1 hạng tử nào đó của đa thức thành hai hay nhiều hạng tử thích hợp để làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các phương pháp khác để phân tích được.

* Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử

A = 3x² + 8x + 4

 = 3x² + 2x + 6x + 4

 = (3x² + 2x) + (6x + 4)

 = x(3x + 2) + 2(3x + 2)

 = (3x + 2)(x + 2)

B = 2x² – 5xy + 2y²

 = 2x² – xy – 4xy + 2y² 

 = x(2x – y) – 2y(2x – y)

 = (2x – y)(x – 2y)

5. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử

Ta có thể thêm bớt 1 hạng tử nào đó của đa thức để làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các phương pháp khác để phân tích được.

* Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử

A = x⁸ + x + 1

 = x⁸ – x² + x² + x + 1

 = (x⁸ – x²) + (x² + x + 1)

 = x²(x⁶ – 1) + (x² + x + 1)

 = x²(x³ + 1)(x³ – 1) + (x² + x + 1)

 = x²(x³ + 1)(x – 1)(x² + x + 1) + (x² + x + 1)

 = (x² + x + 1)[x²(x³ + 1)(x – 1) + 1]

B = y⁴ + 64

 = (y²)² + 16y² – 16y² + 8²

 = (y²)² + 2.y².8 + 8² – 16y²

 = (y² + 8)² – (4y)²

 = (y² + 8 – 4y)(y² + 8 + 4y)

6. Phương pháp đặt ẩn phụ

Trong một số trường hợp, để việc phân tích đa thức thành nhân tử được thuận lợi, ta phải đặt biến phụ thích hợp.

– Đặt t = f(x) , đưa đa thức đã cho về đa thức biến t.

– Phân tích đa thức ẩn t đó thành nhân tử bằng các phương pháp: Dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử, tách (thêm, bớt) hạng tử.

– Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử theo ẩn t, ta trả lại theo biến x.

* Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ

A = (x² + x)² + 4x² + 4x – 12

Ta có: (x² + x)² + 4x² + 4x – 12 = (x² + x)² + 4(x² + x) – 12

Đặt t = x² + x, khi đó:

(x² + x)² + 4(x² + x) – 12 = t² + 4t - 12 (*)

Do đó, ta có:

t² + 4t – 12 = t² – 4 + 4t – 8

= (t + 2).(t – 2) + 4(t – 2)

= (t – 2).(t + 2 + 4) = (t – 2).(t + 6) (**)

Từ (*) và (**) suy ra:

(x² + x)² + 4x² + 4x – 12

= (x² + x – 2).(x² + x + 6)

= [(x² – 1) + (x – 1)].(x² + x + 6)

= [(x – 1).(x + 1) + (x – 1)].(x² + x + 6)

= (x – 1).(x + 1 + 1).(x² + x + 6)

= (x – 1).(x + 2).(x² + x + 6)

7. Phương pháp giảm dần luỹ thừa

Phương pháp này chỉ áp dụng được cho các đa thức như   là những đa thức có dạng . Khi phân tích các đa thức có dạng như trên thì biểu thức sau khi phân tích đều có 1 nhân tử là 

* Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp giảm dần luỹ thừa

A = x⁵ + x⁴ + 1

= x⁵ + x⁴ + x³ – x³ – x² – x + x² + x + 1

= x³(x² + x + 1) – x(x² + x + 1) + (x² + x + 1)

= (x² + x + 1)(x³ – x + 1)

8. Phương pháp hệ số bất định

Phương pháp hệ số bất định còn gọi là phương pháp đồng nhất hệ số thường được vận dụng phân tích các đa thức phức tạp, bậc cao.

Phương pháp này có cơ sở như sau: Hai đa thức (dạng thu gọn) là đồng nhất khi và chỉ khi mọi hệ số của các đơn thức đồng dạng trong hai đa thức phải bằng nhau.

* Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định

A = x⁴ – 6x³ + 12x² – 14x + 3

Các số ±1; ±3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ. Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng:

A = x⁴ – 6x³ + 12x² – 14x + 3 = (x² + ax + b)(x² + cx + d)

 = x⁴ + (a + c)x³ + (ac + b + d)x² + (ad + bc)x + bd

Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có:

Vậy A = x⁴ – 6x³ + 12x² – 14x + 3 = (x² – 2x + 3)(x² – 4x + 1)