Ước chung, Ước chung lớn nhất là gì? Cách tìm ước chung lớn nhất và ứng dụng - Lý thuyết Toán 6 bài 12

Trong bài này, các em sẽ tìm hiểu về Ước chung là gì? Ước chung lớn nhất là gì? Cách tìm ước chung lớn nhất như thế nào? Ứng dụng ước chung để rút gọn phân số?

1. Ước chung là gì? Cách tìm ước của 2 số.

a) Ước chung là gì?

- Một số được gọi là ước chung của hai hay nhiều số nếu nó là ước của tất cả các số đó.

- Tập hợp các ước chung của hai số a và b kí hiệu là ƯC(a, b).

 x ∈ ƯC(a, b) nếu a  x và b  x.

- Tương tự, tập hợp các ước chung của a, b, c kí hiệu là ƯC(a, b, c).

 x ∈ ƯC(a, b, c) nếu a  x, b  x và c  x.

* Ví dụ 1: Ta có: Ư(15) = {1; 3; 5; 15}; Ư(21) = {1; 3; 7; 21}.

Các số 1 và 3 vừa là ước của 15 vừa là ước của 21. Ta nói 1 và 3 là các ước chung của 15 và 21 và viết ƯC(15, 21) = {1; 3}.

* Ví dụ 2: Các khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?

 a) 6  ƯC(24, 30);

 b) 6  ƯC(28,42);       

 c) 6$\in$ ƯC(18, 24, 42)

> Lời giải:

a) Đúng

 Ư(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

 Ư(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}

⇒ ƯC(24,30) = {1; 2; 3; 6).

b) Sai

 Ư(28) = {1; 2; 4; 7; 14; 28}

 Ư(42) = {1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42}

 ⇒ ƯC(28,42) = {1; 2; 7; 14}.

c) Đúng

 Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}

 Ư(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

 Ư(42) = {1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42}

⇒ ƯC(18, 24, 42) = {1; 2; 3; 6).

b) Cách tìm ước chung của 2 số a, b

- Viết tập hợp các ước của a và của b: Ư(a), Ư(b).

- Tìm những phần tử chung của Ư(a) và Ư(b).

* Ví dụ 1: Tìm ước chung của 8 và 12

> Lời giải:

- Ta có: Ư(8) = {1; 2; 4; 8}

 Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

Do đó ƯC(8; 12) = {1; 2; 4}.

* Ví dụ 2: Tìm ước chung của

a) 36 và 45;

b) 18, 36 và 45.

> Lời giải:

a) Ư(36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}

 Ư(45) = {1; 3; 5; 9; 15; 45}

⇒ ƯC(36; 45) = {1; 3; 9}.

b) Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}

 Ư(36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}

 Ư(45) = {1; 3; 5; 9; 15; 45}

⇒ ƯC(18, 36, 45) = {1; 3; 9}.

2. Ước chung lớn nhất là gì?

- Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

- Kí hiệu ước chung lớn nhất của a và b là ƯCLN(a, b).

- Tương tự, ước chung lớn nhất của a, b và c là ƯCLN(a, b, c).

> Nhận xét: Tất cả các ước chung của hai hay nhiều số đều là ước của ƯCLN của các số đó.

* Ví dụ: Viết ƯC(24, 30) và từ đó chỉ ra ƯCLN(24, 30).

> Lời giải:

- Ta có:

 Ư(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

 Ư(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}

⇒ ƯC(24, 30) = {1; 2; 3; 6}.

Vậy ta có: ƯCLN(24,30) = 6

3. Cách tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố

* Quy tắc tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN):

Muốn tìm ƯCLN của của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:

- Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

- Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

- Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

* Ví dụ 1: Tìm ƯCLN (36; 60).

> Lời giải:

- Bước 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố.

 36 = 2² . 3²

 60 = 2² . 3 . 5

- Bước 2: Thừa số nguyên tố chung là 2 và 3.

- Bước 3: Số mũ nhỏ nhất của thừa số 2 là 2 và của 3 là 1.

Vậy ta có, ƯCLN(18; 30) = 2² . 3 = 12.

> Chú ý: Hai số có ƯCLN bằng 1 gọi là hai số nguyên tố cùng nhau.

* Ví dụ 2: ƯCLN(17; 29) = 1 nên 17 và 29 được gọi là hai số nguyên tố cùng nhau.

* Ví dụ 3: ƯCLN(24, 60); ƯCLN(14, 33); ƯCLN(90, 135, 270).

> Lời giải:

• Tìm ƯCLN(24, 60)

- Ta có: 24 = 2³.3

 60 = 2².3.5

Ta thấy 2 và 3 là các thừa số nguyên tố chung. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2, số mũ nhỏ nhất của 3 là 1 

⇒ ƯCLN(24, 60) = 2². 3 = 12.

• Tìm ƯCLN(14, 33)

- Ta có: 14 = 2.7

 33 = 3.11

⇒ ƯCLN(14, 33) = 1

• Tìm ƯCLN(90, 135, 270). 

- Ta có: 90 = 2.3².5

 135 = 3³.5

 270 = 2.3³.5

Ta thấy 3 và 5 là các thừa số nguyên tố chung. Số mũ nhỏ nhất của 3 là 2, số mũ nhỏ nhất của 5 là 1

⇒ ƯCLN(90, 135, 270) = 3². 5 = 45.

4. Ứng dụng trong rút gọn về số tối giản

- Rút gọn phân số: Chia cả tử và mẫu cho ước chung khác 1 (nếu có) của chúng.

- Phân số tối giản: ab là phân số tối giản nếu ƯCLN(a, b) = 1.

- Đưa một phân số chưa tối giản về phân số tối giản:

- Chia cả tử và mẫu cho ƯCLN(a, b).

* Ví dụ 1: Phân số 9/21 là phân số tối giản chưa? Nếu chưa, hãy rút gọn về phân số tối giản.

> Lời giải:

- Vì ƯCLN(9, 21) = 3 ≠ 1 nên 9/21 chưa phải là phân số tối giản.

Ta có: 

Khi đó, ta được 3/7 là phân số tối giản.

* Ví dụ 2: Rút gọn các phân số sau:  

> Lời giải:

- Vì ƯCLN(24, 108) = 12, nên ta có:

- Vì ƯCLN(80, 32) = 16, nên ta có: