Bội chung, Bội chung nhỏ nhất là gì? Cách tìm bội chung nhỏ nhất và ứng dụng - Lý thuyết Toán 6 bài 13

Trong bài này, các em sẽ tìm hiểu về Bội chung là gì? Bội chung nhỏ nhất là gì? Cách tìm bội chung nhỏ nhất và Ứng dụng của bội chung nhỏ nhất để quy đồng mẫu các phân số?

1. Bội chung là gì? Cách tìm bội chung của 2 số

a) Bội chung là gì?

Một số được gọi là bội chung của hai hay nhiều số nếu nó là bội của tất cả các số đó.

* Ví dụ 1: Ta có: B(9) = {0; 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; ...};

 B(12) = {0; 12; 24; 36; 48; 60; 72; …}.

 Hai tập hợp này có một số phần tử chung như 0; 36; 72;...

 Ta nói chúng là các bội chung của 9 và 12.

• Kí hiệu tập hợp các bội chung của a và b là BC(a, b).

• Tương tự, tập hợp các bội chung của a, b, c là BC(a, b, c).

* Ví dụ 2: - Tập hợp các bội chung của 25 và 65 là BC(25, 65).

- Tập hợp các bội chung của 18; 24; 35 là BC(18, 24, 35).

* Ví dụ 3: Các khẳng định sau đúng hay sai? Giải thích.

a) 20 ∈ BC(4, 10);

b) 36 ∈ BC(14, 18);

c) 72 ∈ BC(12, 18, 36).

> Lời giải:

a) Đúng, vì:

 B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40;...}

 B(10) = {0; 10; 20; 30; 40; 50; 60;...}

Hai tập hợp này có cùng một số phần tử chung như 0; 20; 40;... Ta nói chúng là bội chung của 4 và 10. Ta viết BC(4, 10) = {0; 20; 40;...}

Do đó 20 ∈ BC(4, 10).

b) Sai, vì:

 B(14) = {0; 14; 28; 42; 56; 70; 84; 98; 112; 126 …}

 B(18) = {0; 18; 36; 54; 72; 90; 108; 126; …}

Hai tập hợp này có cùng một số phần tử chung như 0; 126; …Ta nói chúng là bội chung của 14 và 18. Ta viết BC(14, 18) = {0; 126;…}

Do đó 36 ∉ BC(14, 18).

Vậy 36 ∈ BC(14, 18) là sai.

c) Đúng, vì:

 B(12) = {0; 12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96; …}

 B(18) = {0; 18; 36; 54; 72; 90; 108; 126; …}

⇒ B(36) = {0; 36; 72; 108; 144; 180 …}

⇒72 ∈ BC(12, 18, 36)

Vậy 72 ∈ BC(12, 18, 36) là đúng.

b) Cách tìm bội chung của hai số a và b

- Viết tập hợp B(a) và bội B(b).

- Tìm những phần tử chung của B(a) và B(b).

* Ví dụ 1: Ta có: B(2) = {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; ...}

 B(3) = {0; 3; 6; 9; 12; ...}

 Những phần tử chung của B(2) và B(3) là 0; 6; 12;...

- Do đó BC(2, 3) = {0; 6; 12; ...}

* Ví dụ 2: Hãy viết:

a) Các tập hợp: B(3); B(4); B(8).

b) Tập hợp M các số tự nhiên nhỏ hơn 50 là bội chung của 3 và 4.

c) Tập hợp K các số tự nhiên nhỏ hơn 50 là bội chung của 3; 4 và 8.

> Lời giải:

a) Các tập hợp:

 B(3) = {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; 36; 39; 42; 45; 48;...}

 B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48;...}

 B(8) = {0; 8; 16; 24; 40; 48;...}

b) Ta có: BC(3, 4) = {0; 12; 24; 36; 48;...}

Vì M là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 50 và là bội chung của 3 và 4 nên M được viết:

M = {0; 12; 24; 36; 48}.

c) Ta có: BC(3, 4, 8) = {0; 24; 48;...}

Vì tập hợp K gồm các số tự nhiên nhỏ hơn 50 là bội chung của 3; 4 và 8 nên K được viết:

K = {0; 24; 48}.

2. Bội chung nhỏ nhất là gì?

- Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.

- Kí hiệu bội chung nhỏ nhất của a và b là BCNN(a, b).

- Tương tự, bội chung nhỏ nhất của a, b và c là BCNN(a, b, c).

> Nhận xét: Tất cả các bội chung của a và b đều là bội của BCN(a, b). Mọi số tự nhiên đều là bội của 1.

Do đó, với mọi số tự nhiên a và b (khác 0) ta có:

 BCNN(a, 1) = a;

 BCNN(a, b, 1) = BCNN(a, b).

* Ví dụ 1: Ta có: BC(6, 8) = {0; 24; 48; 72;...} vì 24 là số nhỏ nhất khác 0 trong số các bội chung của 6 và 8, nên BCNN(6, 8) = 24.

- Tất cả các bội chung của 6 và 8 (là 0; 24; 48; 72;...) đều là bội của BCNN(6, 8) là 24.

- BCNN(8, 1) = 8;

- BCNN(6, 8, 1) = BCNN(6, 8) = 24.

* Ví dụ 2: Viết tập hợp BC(4, 7), từ đó chỉ ra BCNN(4, 7). Hai số 4 và 7 có là hai số nguyên tố cùng nhau không?

> Lời giải:

- Ta có:  B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28;...}

 B(7) = {0; 7; 14; 21; 28; 35;...}

Do đó: BC(4, 7) = {0; 28; 56;...}

Trong các bội chung của 4 và 7 thì 28 là số nhỏ nhất khác 0 

Nên BCNN(4, 7) = 28.

Ta có ƯCLN(4, 7) = 1 nên 4 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau.

3. Tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố

* Quy tắc tìm BCNN

Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện theo ba bước sau:

- Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

- Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

- Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

* Ví dụ 1: Tìm BCNN của 15 và 20.

> Lời giải:

- Ta có: 15 = 3 . 5; 20 = 2² . 5.

Thừa số nguyên tố chung và riêng là 2; 3 và 5.

Số mũ lớn nhất của 2 là 2; của 3 là 1 và của 5 là 1.

Do đó BCNN(15, 20) = 2² . 3 . 5 = 60.

* Ví dụ 2: Tìm BCNN(24, 30); BCNN(3, 7, 8); BCNN(12, 16, 48).

> Lời giải:

+) Phân tích mỗi số 24, 30 ra thừa số nguyên tố: 24 = 2³.3; 30 = 2.3.5.

Các thừa số chung là 2 và 3, thừa số riêng là 5.

Lập tích các thừa số chung và riêng đã chọn ở trên, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó: 2³.3.5.

Vậy BCNN(24, 30) = 2³.3.5 = 120.

+) Phân tích mỗi số 3, 7, 8 ra thừa số nguyên tố: 3 = 3; 7 = 7; 8 = 2³.

Các thừa số riêng là 2; 3; 7.

Lập tích các thừa số chung và riêng đã chọn ở trên, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó: 2³.3.7.

Vậy BCNN(3, 7, 8) = 2³.3.7 = 168..

+) Phân tích mỗi số 12, 16 và 48 ra thừa số nguyên tố: 12 = 2³.4; 16 = 2⁴.3.

Các thừa số chung và riêng là: 2, 3.

Lập tích các thừa số chung và riêng đã chọn ở trên, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó: 2⁴.3.

Vậy BCNN(12, 16,48) = 2⁴.3 = 48.

> Chú ý: Nếu các số đã cho từng đôi một nguyên tố cùng nhau thì BCNN của chúng là tích của các số đó.

* Ví dụ 3: Các cặp số 3 và 8; 8 và 11; 11 và 3 là các cặp đôi một nguyên tố cùng nhau.

Khi đó, BCNN(3, 8, 11) = 3 . 8 . 11 = 264.

• Trong các số đã cho, nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho chính là số lớn nhất ấy.

* Ví dụ 4: Tìm BCNN(2, 5, 9); BCNN(10, 15, 30).

> Lời giải:

+) Vì 2; 5; 9 đôi một nguyên tố cùng nhau. Khi đó BCNN của chúng là tích của các số đó

Do đó BCNN(2, 5, 9) = 2.5.9 = 90.

+) Vì 30 chia hết cho 10 và 15 nên 30 là bội của 10 và 15

Do đó: BCNN(10, 15, 30) = 30

4. Ứng dụng trong quy đồng mẫu các phân số

* Quy tắc quy đồng mẫu nhiều phân số

Muốn quy đồng mẫu số nhiều phân số ta có thể làm như sau:

- Bước 1: Tìm một bội chung của các mẫu số (thường là BCNN) để làm mẫu số chung.

- Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu số (bằng cách chia mẫu số chung cho từng mẫu số riêng).

- Bước 3: Nhân tử số và mẫu số của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.

* Ví dụ 1: Quy đồng mẫu số hai phân số 7/30 và 5/42.

> Lời giải:

- Ta có: 30 = 2 . 3 . 5; 42 = 2 . 3 . 7.

Thừa số nguyên tố chung và riêng là 1; 3; 5 và 7.

Số mũ lớn nhất của 2; 3; 5 và 7 đều là 1.

Khi đó, BCNN(30, 42) = 2 . 3 . 5 . 7 = 210.

Do đó BC(30; 42) = {0; 210; 420;...}

• Cách 1: Chọn mẫu chung là BCNN và là 210. Ta được:

  và 

 • Cách 2: Chọn mẫu chung là bất kỳ khác 0 của 30 và 42 là 420. Ta được:

  và 

* Ví dụ 2: a) Quy đồng mẫu các phân số sau:

b) Thực hiện các phép tính sau:

> Lời giải:

a) Quy đồng mẫu

i) Ta có: 12 = 2².3;

 30 = 2.3.5;

Các thừa số chung và riêng là 2, 3, 5.

Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất: 2².3.5 = 60.

Khi đó: BCNN(12, 30) = 60

60 : 12 = 5; 60 : 30 = 2. Do đó:

  và 

ii) Ta có: 2 = 2; 5 = 5; 8 = 2³

Các thừa số chung và riêng là 2, 5.

Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất: 2³.5 = 40.

Khi đó: BCNN(2, 5, 8) = 40

40:2 = 20; 40:5 = 8; 40:8 = 5. Do đó:

    và 

b) Thực hiện các phép tính

i) Ta có BCNN(6,8) = 24.

24: 6 = 4; 24:8 = 3. Do đó:

ii) Ta có BCNN(24, 30) = 120.

120:24 = 5; 120:30 = 4. Do đó: