Quy tắc nhân hai số nguyên, Tính chất phép nhân của số nguyên, Bội và ước của một số nguyên - Lý thuyết Toán 6 bài 4

Nội dung bài này sẽ giúp các em hiểu Phép nhân và phép chia hết hai số nguyên, quy tắc nhân hai số nguyên, Tính chất phép nhân của số nguyên, quan hệ chia hết, phép chia hết hai số nguyên; Bội và ước của một số nguyên.

1. Nhân hai số nguyên khác dấu

• Quy tắc nhân hai số nguyên khác dấu

- Tích của hai số nguyên khác dấu luôn luôn là một số nguyên âm.

- Khi nhân hai số nguyên khác dấu, ta nhân số dương với số đối của số âm rồi thêm dấu trừ (−) trước kết quả nhận được.

> Chú ý: Cho hai số nguyên dương a và b, ta có:

(+a).(−b) = −a.b

(−a).(+b) = −a.b

* Thực hành 1: Thực hiện phép tính sau:

a) (-5).4;          b) 6.(-7);

c) (-14).20;       d) 51.(-24).

> Lời giải:

a) (-5).4 = -(5.4) = -20;

b) 6.(-7) = -(6.7) = -42;

c) (-14).20 = -(14.20) = -280;

d) 51.(-24) = -(51.24) =  -1224.

* Vận dụng 1: Một xí nghiệp may gia công có chế độ thưởng và phạt như sau: Một sản phẩm tốt được thưởng 50 000 đồng, một sản phẩm có lỗi bị phạt 40 000 đồng. Chị Mai làm được 20 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm bị lỗi. Em hãy thực hiện phép tính sau để biết chị Mai nhận được bao nhiêu tiền.

20.(+50 000) + 4.(-40 000) = ?

> Lời giải:

- Chị Mai nhận được số tiền là: 

 20.(+50 000) + 4.(-40 000) = 1 000 000 + (-160 000) = 840 000 (đồng)

- Vậy chị Mai nhận được 840 000 đồng.

2. Nhân hai số nguyên cùng dấu

• Quy tắc nhân hai số nguyên cùng dấu

- Khi nhân hai số nguyên cùng dương, ta nhân chúng như nhân hai số tự nhiên.

- Khi nhân hai số nguyên cùng âm, ta nhân hai số đối của chúng.

> Chú ý:

- Cho hai số nguyên dương a và b, ta có: (−a).(−b) = (+a).(+b) = a.b.

- Tích của hai số nguyên cùng dấu luôn luôn là một số nguyên dương.

* Thực hành 2: Tính các tích sau:

 a = (-2).(-3);      b = (-15).(-6);

 c = (+3).(+2);    d = (-10).(-20);

> Lời giải:

a = (-2).(-3) = 2.3 = 6;

b = (-15).(-6) = 15.6 = 90;

c = (+3).(+2) = 3.2 = 6;

d = (-10).(-20) = 10.20 = 200.

3. Tính chất của phép nhân các số nguyên

a) Tính chất giao hoán

• Phép nhân hai số nguyên có tính chất giao hoán, nghĩa là:

 a.b = b.a

> Chú ý:

 • a.1 = 1.a = a;

 • a.0 = 0.a = 0.

 • Cho hai số nguyên x, y:

Nếu x.y = 0 thì x = 0 hoặc y = 0.

* Ví dụ: Nếu (a + 6) . (a – 11) = 0 thì

 a + 6 = 0 hoặc a – 11 = 0.

Suy ra a = –6 hoặc a = 11.

b) Tính chất kết hợp

• Phép nhân các số nguyên có tính chất kết hợp:

 (a.b).c = a.(b.c)

> Chú ý: Áp dụng tính chất kết hợp của phép nhân, ta có thể viết tích của nhiều số nguyên:

 a.b.c = a.(b.c) = (a.b).c.

* Ví dụ: [(−3).(−5)].6 = (−3).[(−5).6]

 = (−3).(−5).6 = 3.5.6

 = 15.6 = 80.

* Thực hành 3: a) P là tích của 8 số nguyên khác 0 trong đó có đúng 4 số dương. Q là tích của 6 số nguyên khác 0 trong đó có duy nhất một số dương. Hãy cho biết P và Q là số dương hay số âm. 

b) Tích của các số nguyên âm có số thừa số là số lẻ thì có dấu gì?

c) Tích của các số nguyên âm có số thừa số là số chẵn thì có dấu gì?

> Lời giải:

a) P là tích của 8 số nguyên khác 0 và có đúng 4 số dương nên 4 số còn lại nguyên âm. 

Mà tích của 4 số nguyên dương là một số nguyên dương, tích của 4 số nguyên âm còn lại cùng là một số nguyên dương. Do đó P dương.

Q là tích của 6 số nguyên khác 0 trong đó có duy nhất một số dương nên 5 số còn lại là số nguyên âm và tích của 5 số nguyên âm cũng là một số nguyên âm. Do đó Q âm.

b) Tích của các số nguyên âm có số thừa số là số lẻ thì có dấu âm.

c) Tích của các số nguyên âm có số thừa số là số chẵn thì có dấu dương.

c) Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng

• Phép nhân số nguyên có tính chất phân phối đối với phép cộng:

 a(b + c) = ab + ac

• Phép nhân số nguyên có tính chất phân phối đối với phép trừ:

 a(b − c) = ab – ac

* Thực hành 4: Thực hiện phép tính: (-2).29 + (-2).(-99) + (-2).(-30).

> Lời giải:

- Ta có: (-2).29 + (-2).(-99) + (-2).(-30).

 = (-2).[29 + (-99) + (-30)]

 = (-2).[(-70) + (-30)]

 = (-2).(-100) = 2 . 100 = 200.

4. Quan hệ chia hết và phép chia trong tập hợp số nguyên

• Cho a,b∈ℤ và b ≠ 0. Nếu có số nguyên q sao cho a = bq thì

- Ta nói a chia hết cho b, kí hiệu là a ⋮ b.

- Trong phép chia hết, dấu của thương hai số nguyên cũng giống như dấu của tích.

Ta gọi q là thương của phép chia a cho b, kí hiệu là a : b = q.

* Ví dụ: Ta có: (−15) = 3.(−5) nên ta nói:

° (−15) chia hết cho (−5);

° (−15) : (−5) = 3;

° 3 là thương của phép chia (−15) cho (−5).

* Thực hành 5: Tìm thương của các phép chia sau:

a) (-2 020):2;         b) 64: (-8);

c) (-90):(-45);        d) (- 2 121):3

> Lời giải:

a) (-2 020):2 = -1 010;

b) 64:(-8) = -8;

c) (-90):(-45) = 2;

d) (-2 121):3 = -707.

* Vận dụng 2: Một máy cấp đông (làm lạnh nhanh) trong 6 phút đã làm thay đổi nhiệt độ được –12⁰C. Hỏi trung bình trong một phút máy đã làm thay đổi được bao nhiêu độ C?

> Lời giải:

- Trong một phút máy đã làm thay đổi được: -12:6 = -2⁰C;

- Vậy trung bình một phút máy đã làm thay đổi nhiệt độ được -2⁰C.

5. Bội và ước của một số nguyên

• Cho a, b ∈ ℤ . Nếu a ⋮ b thì ta nói a là bội của b là b là ước của a.

* Ví dụ: Ta có (−20) ⋮ (−4) nên ta nói (−20) là bội của (−4) và (−4) là ước của (−20).

• Nếu c vừa là ước của a, vừa là ước của b thì c cũng được gọi là ước chung của a và b.

* Ví dụ: Vì 5 vừa là ước của 15 vừa là ước của 25 nên 5 là ước chung của 15 và 25.

* Thực hành 6: a) -10 có phải là một bội của 2 hay không?

b) Tìm các ước của 5.

> Lời giải:

a) Vì (-10):2 = -5 nên -10 chia hết cho 2, do đó -10 là một bội của 2.

b) Các ước nguyên dương của 5 là 1; 5.

Do đó các ước nguyên âm của 5 là -1; -5

Vậy Ư(5) = {-5; -1; 1; 5}.