Bài 1 trang 119 SGK Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 119 SGK Toán 11 tập 1 Chân trời sáng tạo: Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD. Ta dựng các nửa đường thẳng song song với nhau và nằm về một phía đối với (P) lần lượt đi qua các điểm A,B,C,D. Một mặt phẳng (Q) cắt bốn nửa đường thẳng nói trên tại A', B', C', D'.

Chứng minh rằng: AA' + CC' = BB' + DD'

Giải bài 1 trang 119 SGK Toán 11 tập 1 Chân trời sáng tạo:

Ta có hình vẽ minh hoạ sau:

Vì AB//CD ⇒ AB//(CDD'C'),

 AA'//DD' ⇒ DD'//(CDD'C')

Ta có (ABB'A') đi chứa 2 đường thẳng cắt nhau AB và AA' cùng song song với (CDD'C')

⇒ (ABB'A')//(CDD'C')

Lại có:

 AD//BC ⇒ AD//(BCC'B'),

 AA'//BB' ⇒ AA'//(BCC'B')

Ta có (ADD'A') đi chứa 2 đường thẳng cắt nhau AD và AA' cùng song song với (CBB'C')

⇒ (ADD'A')//(CBB'C')

Mặt phẳng (A'B'C'D') cắt hai mặt phẳng song song (ABB'A') và (CDD'C') lần lượt tại A'B' và CD'

⇒ AB'//CD' 

Mặt phẳng (A'B'C'D') cắt hai mặt phẳng song song (ADD'A') và (CBB'C') lần lượt tại A'D' và CB'

⇒ AD'//CB' 

⇒ A'B'C'D' là hình bình hành, nên A'C' cắt B'D' tại trung điểm O

Gọi O' là giao của AC và BD

Mặt phẳng (AA'C'C) cắt hai mặt phẳng song song (ABB'A') và (CDD'C') lần lượt tại AA' và CC'

⇒ AA'//CC' 

Trong hình thang ACC'A' có OO' là đường trung bình nên:

 AA'+CC' = 2OO'

Mặt phẳng (BDD'B') cắt hai mặt phẳng song song (ABB'A') và (CDD'C') lần lượt tại BB' và DD'

⇒ BB'//DD'

Trong hình thang BDD'B' có OO' là đường trung bình nên:

BB'+DD' = 2OO'

⇒ AA' + CC' = BB' + DD'