Bài 5 trang 24 SGK Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

18:53:4630/03/2023

Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết:...

Bài 5 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 Chân trời sáng tạo: Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết:

a) $\small cos2\alpha =\frac{2}{5}$ và $\small -\frac{\pi }{2}< \alpha < 0$

b) $\dpi{100} \small sin2\alpha =-\frac{4}{9}$ và $\dpi{100} \small \frac{\pi }{2}< \alpha < \frac{3\pi }{4}$

Giải bài 5 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 Chân trời sáng tạo:

a) $\small cos2\alpha =\frac{2}{5}$ và $\small -\frac{\pi }{2}< \alpha < 0$

Ta có:

$\dpi{100} \small cos2\alpha =2cos^2\alpha -1=\frac{2}{5}$

$\small \Leftrightarrow cos^2\alpha =\frac{7}{10}\Leftrightarrow cos\alpha =\pm \sqrt{\frac{7}{10}}=\pm \frac{\sqrt{70}}{10}$

$\small \Rightarrow cos\alpha =\frac{\sqrt{70}}{10}$ (vì $\small -\frac{\pi }{2}< \alpha < 0$ nên chỉ nhận cosα > 0)

Lại có:

$\dpi{100} \small cos2\alpha =1-2sin^2\alpha =\frac{2}{5}$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow sin^2\alpha =\frac{3}{10}\Leftrightarrow sin\alpha =\pm \sqrt{\frac{3}{10}}=\pm \frac{\sqrt{30}}{10}$

$\dpi{100} \small \Rightarrow sin\alpha =-\frac{\sqrt{30}}{10}$ (vì $\small -\frac{\pi }{2}< \alpha < 0$ nên chỉ nhận sinα < 0)

Khi đó, ta tính được:

$\small tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }=\frac{\frac{-\sqrt{30}}{10}}{\frac{\sqrt{70}}{10}}=\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

$\small cot\alpha =\frac{1}{tan\alpha }=\frac{-\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$

b) $\dpi{100} \small sin2\alpha =-\frac{4}{9}$ và $\dpi{100} \small \frac{\pi }{2}< \alpha < \frac{3\pi }{4}$

Vì $\dpi{100} \small \frac{\pi }{2}< \alpha < \frac{3\pi }{4}\Rightarrow \pi< 2\alpha < \frac{3\pi}{2}$

Mà sin²2α + cos²2α = 1 nên

$\dpi{100} \small cos2\alpha =\pm \sqrt{1-sin^22\alpha }=\pm \sqrt{1-\left ( \frac{-4}{9} \right )^2}$ $\dpi{100} \small =\pm \sqrt{\frac{81-16}{9^2}}=\pm \frac{\sqrt{65}}{9}$

$\dpi{100} \small \Rightarrow cos2\alpha =-\frac{\sqrt{65}}{9}$ (vì $\small \pi< 2\alpha < \frac{3\pi}{2}$ nên chỉ nhận cos2α < 0)

Lại có:

$\dpi{100} \small cos2\alpha =2cos^2\alpha -1=\frac{-\sqrt{65}}{9}$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow cos^2\alpha =\frac{9-\sqrt{65}}{18}\Leftrightarrow cos\alpha =\pm \sqrt{\frac{9-\sqrt{65}}{18}}$

$\dpi{100} \small \Rightarrow cos\alpha =-\sqrt{\frac{9-\sqrt{65}}{18}}$ (vì $\dpi{100} \small \frac{\pi }{2}< \alpha < \frac{3\pi }{4}$ nên chỉ nhận cosα < 0)

Mặt khác, ta có:

$\dpi{100} \small cos2\alpha =1-2sin^2\alpha =\frac{-\sqrt{65}}{9}$

$\small \dpi{100} \small \Leftrightarrow sin^2\alpha =\frac{9+\sqrt{65}}{18}\Leftrightarrow sin\alpha =\pm \sqrt{\frac{9+\sqrt{65}}{18}}$

$\dpi{100} \small \Rightarrow sin\alpha =\sqrt{\frac{9+\sqrt{65}}{18}}$ (vì $\dpi{100} \small \frac{\pi }{2}< \alpha < \frac{3\pi }{4}$ nên chỉ nhận sinα > 0)

Khi đó, ta tính được:

$\dpi{100} \small tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }=\frac{\sqrt{\frac{9+\sqrt{65}}{18}}}{\sqrt{\frac{9-\sqrt{65}}{18}}}=\sqrt{\frac{9+\sqrt{65}}{9-\sqrt{65}}}$

$\dpi{100} \small cot\alpha =\frac{1}{tan\alpha }=\sqrt{\frac{9-\sqrt{65}}{9+\sqrt{65}}}$

Trên đây KhoiA.Vn đã hướng dẫn các em giải bài 5 trang 24 SGK Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết nhé, chúc các em thành công.

• Xem hướng dẫn giải bài tập Trang 23, 24 SGK Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

> Bài 1 trang 23 SGK Toán 11 tập 1 Chân trời sáng tạo: Không dùng máy tính cầm tay, tính các giá trị lượng giác của...

> Bài 2 trang 23 SGK Toán 11 tập 1 Chân trời sáng tạo: Tính sin...cos...

> Bài 3 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 Chân trời sáng tạo: Tính các giá trị lượng giác của góc 2α, biết:...

> Bài 4 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 Chân trời sáng tạo: Rút gọn các biểu thức sau:...

> Bài 5 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 Chân trời sáng tạo: Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết:...

> Bài 6 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 Chân trời sáng tạo: Chứng minh rằng tam giác ABC, ta có:...

> Bài 7 trang 24 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Trong Hình 3, tam giác ABC vuông tại B và có hai cạnh góc vuông...

> Bài 8 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 Chân trời sáng tạo: Trong Hình 4, pít – tông M của động cơ chuyển động tịnh tiến...

> Bài 9 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 Chân trời sáng tạo: Trong Hình 5, ba điểm M, N, P nằm ở đầu các cánh quạt của tua bin gió...