Bài 4.43 trang 103 SGK Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức

Bài 4.43 trang 103 Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên cạnh SC và cạnh AB lần lượt lấy điểm M và N sao cho CM = 2SM và BN = 2AN.

a) Xác định giao điểm K của mặt phẳng (ABM) với đường thẳng SD. Tính tỉ số 

b) Chứng minh rằng MN // (SAD).

Giải bài 4.43 trang 103 Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức:

Ta có hình vẽ sau:

a) Trong mặt phẳng (SCD), từ M kẻ MK song song với CD (K thuộc SD).

Vì CD // AB (ABCD là hình bình hành) nên MK // AB. Do đó, MK nằm trong mặt phẳng (ABM) hay K thuộc mặt phẳng (ABM).

Mà K thuộc SD, do vậy K là giao điểm của mặt phẳng (ABM) với đường thẳng SD.

Xét ΔSCD có KM // CD, theo định lí Thalés ta có:

Mà CM = 2SM ⇒

Vậy: 

b) Từ câu a) ta có: 

Mà BN = 2AN, suy ra 

Nên có: 

 mà AB = CD (do ABCD là hình bình hành) nên AN = KM.

Mà KM // AN (do KM // AB).

Xét tứ giác ANMK có KM = AN và KM // AN nên tứ giác ANMK là hình bình hành.

⇒ AK // MN.

Vì K thuộc SD nên K thuộc mặt phẳng (SAD), 

⇒ AK nằm trong mặt phẳng (SAD).

Khi đó đường thẳng MN song song với đường thẳng AK và đường thẳng AK nằm trong mặt phẳng (SAD).

Vậy MN song song với mặt phẳng (SAD).