Bài 2.16 trang 55 SGK Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức

Bài 2.16 trang 55 SGK Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức: Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số (u_n) sau và xem nó có phải là cấp số nhân không. Nếu nó là cấp số nhân, hãy tìm công bội q và viết công thức tính số hạng tổng quát của nó dưới dạng u_n = u₁ . q^{n – 1}.

a) u_n = 5n;

b) u_n = 5ⁿ;

c) u₁ = 1, u_n = nu_{n – 1};

d) u₁ = 1, u_n = 5u_{n – 1}.

Giải bài 2.16 trang 55 SGK Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức:

a) Với dãy: u_n = 5n

• Năm số hạng đầu của dãy số là: u₁ = 5 . 1 = 5;

u₂ = 5 . 2 = 10;

u₃ = 5 . 3 = 15;

u₄ = 5 . 4 = 20;

u₅ = 5 . 5 = 25;

•  Với mọi n ≥ 2 ta có: 

  luôn thay đổi.

Vì vậy, dãy số (u_n) không là cấp số nhân.

b) Với dãy: u_n = 5ⁿ

• Năm số hạng đầu của dãy số là: u₁ = 5¹ = 5;

u₂ = 5² = 25;

u₃ = 5³ = 125;

u₄ = 5⁴ = 625;

u₅ = 5⁵ = 3 125;

• Với mọi n ≥ 2 ta có: 

Nghĩa là: u_n = 5u_{n – 1} với mọi n ≥ 2.

Vì vậy, (u_n) là cấp số nhân với:

Số hạng đầu u₁ = 5,

Công bội q = 5

Và số hạng tổng quát là:  u_n = u₁ . q^{n – 1} = 5 . 5^{n – 1} = 5^{1 + n – 1} = 5ⁿ.

c) Với: u₁ = 1, u_n = nu_{n – 1}

• Năm số hạng đầu của dãy số là: u₁ = 1;

u₂ = 2 . u₁ = 2 . 1 = 2;

u₃ = 3 . u₂ = 3 . 2 = 6;

u₄ = 4 . u₃ = 4 . 6 = 24;

u₅ = 5 . u₄ = 5 . 24 = 120.

• Ta có:  luôn thay đổi với mọi n ≥ 2.

Vì vậy, dãy số (u_n) không là cấp số nhân.

d) Với: u₁ = 1, u_n = 5u_{n – 1}

• Năm số hạng đầu của dãy số là: u₁ = 1;

u₂ = 5 . u₁ = 5 . 1 = 5;

u₃ = 5 . u₂ = 5 . 5 = 25;

u₄ = 5 . u₃ = 5 . 25 = 125;

u₅ = 5 . u₄ = 5 . 125 = 625.

• Ta có:  với mọi n ≥ 2.

Vậy dãy số (u_n) là cấp số nhân với:

Số hạng đầu u₁ = 1,

Công bội q = 5

Và có số hạng tổng quát: u_n = u₁ . q^{n – 1} = 1 . 5^{n – 1} = 5^{n – 1}.