Bài 3 trang 24 SGK Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

18:46:4530/03/2023

Tính các giá trị lượng giác của góc 2α...

Bài 3 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 Chân trời sáng tạo: Tính các giá trị lượng giác của góc 2α, biết:

a) $\small sin\alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$ và $\small 0< \alpha < \frac{\pi }{2}$

b) $\dpi{100} \small sin\frac{\alpha}{2} =\frac{3}{4}$ và $\dpi{100} \small \pi< \alpha <2\pi$

Giải bài 3 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 Chân trời sáng tạo:

a) $\small sin\alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$ và $\small 0< \alpha < \frac{\pi }{2}$

Ta có sin²α + cos²α = 1 nên:

$\dpi{100} \small cos\alpha =\pm \sqrt{1-sin^2\alpha }=\pm \sqrt{1-\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right )^2}$

$\dpi{100} \small =\pm \sqrt{\frac{3-1}{3}}=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}=\pm \frac{\sqrt{6}}{3}$

Vì $\small 0< \alpha < \frac{\pi }{2}$ nên $\dpi{100} \small cos\alpha >0$

Do đó chỉ nhận $\dpi{100} \small cos\alpha =\frac{\sqrt{6}}{3}$

Khi đó, ta tính:

+) $\small sin2\alpha=2sin\alpha.cos\alpha$ $\small =2.\frac{\sqrt{3}}{3}.\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

+) $\dpi{100} \small cos2\alpha=2cos^2\alpha-1$ $\dpi{100} \small =2.\left (\frac{\sqrt{6}}{3} \right )^2-1=\frac{1}{3}$

+) $\small tan2\alpha =\frac{sin2\alpha }{cos2\alpha }=\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}}=2\sqrt{2}$

+) $\small cot2\alpha =\frac{1}{tan2\alpha }=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$

b) $\dpi{100} \small sin\frac{\alpha}{2} =\frac{3}{4}$ và $\dpi{100} \small \pi< \alpha <2\pi$

Ta có $\small sin^2\frac{\alpha }{2}+cos^2\frac{\alpha }{2}=1$ nên:

$\dpi{100} \small cos\frac{\alpha}{2} =\pm \sqrt{1-sin^2\frac{\alpha}{2} }=\pm \sqrt{1-\left ( \frac{3}{4} \right )^2}$

$\dpi{100} \small =\pm \sqrt{\frac{16-9}{16}}=\pm \sqrt{\frac{7}{16}}=\pm \frac{\sqrt{7}}{4}$

Vì $\dpi{100} \small \pi< \alpha <2\pi\Rightarrow \frac{\pi}{2}< \frac{\alpha}{2} <\pi$ nên $\dpi{100} \small cos\frac{\alpha}{2} <0$

Do đó chỉ nhận $\dpi{100} \small cos\alpha =\frac{-\sqrt{7}}{4}$

Khi đó, ta tính:

+) $\dpi{100} \small sin\alpha=2sin\frac{\alpha}{2}.cos\frac{\alpha}{2}$ $\dpi{100} \small =2.\frac{3}{4}.\left (\frac{-\sqrt{7}}{4} \right )=\frac{-3\sqrt{7}}{8}$

+) $\dpi{100} \small cos\alpha=2cos^2\frac{\alpha}{2}-1$ $\dpi{100} \small =2.\left (-\frac{\sqrt{7}}{4} \right )^2-1=\frac{-1}{8}$

+) $\small sin2\alpha=2sin\alpha.cos\alpha$ $\dpi{100} \small =2.\left (\frac{-3\sqrt{7}}{4} \right ).\left (\frac{-1}{8} \right )=\frac{3\sqrt{7}}{32}$

+) $\dpi{100} \small cos2\alpha=2cos^2\alpha-1$ $\dpi{100} \small =2.\left (\frac{-1}{8} \right )^2-1=\frac{-31}{32}$

+) $\dpi{100} \small tan2\alpha =\frac{sin2\alpha }{cos2\alpha }=\frac{\frac{3\sqrt{7}}{32}}{\frac{-31}{32}}=\frac{-3\sqrt{3}}{31}$

+) $\dpi{100} \small cot2\alpha =\frac{1}{tan2\alpha }=\frac{-31}{3\sqrt{7}}$

Trên đây KhoiA.Vn đã hướng dẫn các em giải bài 3 trang 24 SGK Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết nhé, chúc các em thành công.

• Xem hướng dẫn giải bài tập Trang 23, 24 SGK Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

> Bài 1 trang 23 SGK Toán 11 tập 1 Chân trời sáng tạo: Không dùng máy tính cầm tay, tính các giá trị lượng giác của...

> Bài 2 trang 23 SGK Toán 11 tập 1 Chân trời sáng tạo: Tính sin...cos...

> Bài 3 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 Chân trời sáng tạo: Tính các giá trị lượng giác của góc 2α, biết:...

> Bài 4 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 Chân trời sáng tạo: Rút gọn các biểu thức sau:...

> Bài 5 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 Chân trời sáng tạo: Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết:...

> Bài 6 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 Chân trời sáng tạo: Chứng minh rằng tam giác ABC, ta có:...

> Bài 7 trang 24 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Trong Hình 3, tam giác ABC vuông tại B và có hai cạnh góc vuông...

> Bài 8 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 Chân trời sáng tạo: Trong Hình 4, pít – tông M của động cơ chuyển động tịnh tiến...

> Bài 9 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 Chân trời sáng tạo: Trong Hình 5, ba điểm M, N, P nằm ở đầu các cánh quạt của tua bin gió...