Bài 2.29 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức

Bài 2.29 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức: Chứng minh rằng:

a) Trong một cấp số cộng (u_n), mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

  với k ≥ 2

b) Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

  với k ≥ 2.

Giải bài 2.29 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức:

a) Giả sử (u_n) là cấp số cộng với công sai d. Khi đó với k ≥ 2, ta có:

u_{k – 1} = u_k – d và u_{k + 1} = u_k + d.

⇒ u_{k – 1} + u_{k + 1} = (u_k – d) + (u_k + d) = 2u_k 

hay  (đpcm).

b) Giả sử cấp số nhân có công bội là q. Khi đó với k ≥ 2, ta có:

u_{k – 1} = u₁.q^{k – 1 – 1} = u₁ . q^{k – 2};

u_{k + 1} = u₁.q^{k + 1 – 1} = u₁ . q^k.

⇒ u_{k – 1} . u_{k + 1} = (u₁.q^{k – 2}) . (u₁.q^k) 

  (đpcm)