Phương trình lượng giác thường gặp: Phương trình bậc nhất bậc hai đối với sinx cosx và cách giải - Giải tích 11 bài 3

Phương trình lượng giác thường gặp đó là: Phương trình bậc nhất bậc hai đối với một hàm số lượng giác; phương trình bậc nhất đối vơi sinx và cosx dạng asinx + bcosx = c; và các phương trình đưa được về dạng phương trình bậc nhất, bậc hai.

• Bài tập phương trình lượng giác thường gặp, bậc nhất, bậc hai và bậc nhất với sinx, cosx

I. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác và cách giải.

1. Định nghĩa PT bậc nhất với một hàm số lượng giác

- Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:

 at + b = 0 (1)

Trong đó: a, b là các hằng số (a ≠ 0) và t là mọt trong các hàm số lượng giác (sin, cos, tan hoặc cot).

2. Cách giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

- Chuyển vế, rồi chia cả hai vế cho a ta được đưa phương trình (1) về phương trình lượng giác cơ bản.

* Ví dụ 1: Giải các phương trình lượng giác bậc nhất sau:

> Lời giải:

a) 2sinx – 3 = 0 ⇔ sin⁡ x = 3/2 , vô nghiệm vì |sin⁡x| ≤ 1

b) √3tan⁡x + 1 = 0 ⇔ tan⁡x = (-√3)/3 ⇔ x = (-π)/6 + kπ, k ∈ Z.

* Ví dụ 2: Giải phương trình lượng giác sau: 

> Lời giải:

- Ta có:   

3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Là các phương trình qua một số bước biến đổi, ta có thể đưa pt đó về dạng pt bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

* Ví dụ: Giải phương trình sau: 3sinx - sin2x = 0

> Lời giải:

- Ta có: 3cosx - sin2x = 0

⇔ 3cosx - 2sinxcosx = 0

⇔ cosx(3 - 2sinx) = 0

⇔ cosx = 0 hoặc 3 - 2sinx = 0

Với cosx = 0 ⇔ x = π/2 + kπ, k ∈ Z.

Với 3 - 2sinx = 0 ⇔ sinx = 3/2 > 1 nên vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm: x = π/2 + kπ, k ∈ Z.

II. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác và cách giải.

1. Định nghĩa PT bậc hai với một hàm số lượng giác

- Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:

 at² + bt + c = 0 (a ≠ 0)

Trong đó a, b, c là các hằng số và t là một trong số các hàm số lượng giác.

2. Định nghĩa PT bậc hai với một hàm số lượng giác

- Bước 1: Đặt ẩn phụ và điều kiện cho ẩn (nếu có).

- Bước 2: Giải phương trình bậc 2 với ẩn phụ.

- Bước 3: Đưa vè việc giải  các phương trình lượng giác cơ bản.

* Ví dụ: Giải các phương trình lượng giác sau:

> Lời giải:

- Đặt t = cosx với điều kiện -1 ≤ t ≤ 1.

- Ta được phương trình bậc hai theo t: 3t² - 5t + 2 = 0

Ta thấy a + b + c =  3 - 5 + 2 = 9 nên theo Vi-ét ta có t₁ = 1; t₂ = c/a = 2/3. Cả hai nghiệm đều thỏa điều kiện.

+ Với cos⁡x = 1 ⇔ cos⁡x = cos⁡0 ⇔ x = k2π, k ∈ Z.

+ Với cos⁡x = 2/3 ⇔ x = ± arccos⁡(2/3) + k2π, k ∈ Z.

- Ta đặt: t = tanx

- Ta được phương trình bậc hai theo t: 3t² - (2√3)t + 3 = 0 (1)

 Δ_t = (-2√3)² - 4.3.3 = -24 < 0

⇒ Phương trình (1) vô nghiệm, vậy không có x thỏa mãn bài toán.

3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Là các phương trình qua một số bước biến đổi, ta có thể đưa pt đó về dạng pt bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

* Ví dụ: Giải phương trình: 3cos²6x + 8sin3x.cos3x – 4 = 0.

> Lời giải:

- Ta có: cos²6x + 8sin⁡3x cos⁡3x - 4 = 0

⇔ 3(1 - sin²6x)+ 4sin⁡6x - 4 = 0

⇔ -3sin²6x + 4sin⁡6x - 1 = 0

Đặt t = sin⁡6x với điều kiện -1 ≤ t ≤ 1.

- Ta được phương trình bậc hai theo t: -3t² + 4t - 1 = 0

 Để ý a + b + c = = -3 + 4 - 1 = 0 nên pt có nghiệm t₁ = 1; t₂ = 1/3. Cả hai nghiệm đều thỏa điều kiện, nên:

+ Với t = 1 ⇔ sin6x = 1 = sin(π/2)

 ⇔ 6x = π/2 + k2π ⇔ x = π/12 + kπ/3 (k ∈ Z).

+ Với t = 1/3 ⇔ sin6x = 1/3

III. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx và cách giải

1. Công thức biến đổi biểu thức asinx + bcosx

- Qua chứng minh, ta có công thức biến đổi biểu thức asinx + bcosx như sau:

Với: 

2. Cách giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Xét phương trình asinx + bcosx = c (*)

Với a, b, c ∈ R; a, b không đồng thời bằng 0 (a² + b² ≠ 0)

Nếu a = 0, b ≠ 0 hoặc a ≠ 0, b = 0, phương trình (*) có thể đưa ngày về phương trình lượng giác cơ bản.

Nếu a ≠ 0 và b ≠ 0, ta áp dụng công thức biến đổi asinx + bcosx ở trên.

* Ví dụ: Giải phương trình sau: 

> Lời giải:

- Ta có: 

[Chia cả hai vế của pt cho  ta được]