Bài tập phương trình lượng giác thường gặp, phương trình bậc nhất sinx và cosx - Giải tích 11 bài 3

09:16:0822/07/2021

Về cách giải một số phương trình lượng giác thường gặp KhoiA đã chia sẻ ở bài viết trước, bài viết này chúng ta cùng áp dụng các phương pháp giải này vào các bài tập cụ thể.

Dưới đây là phần hướng dẫn giải bài tập một số phương trình lượng giác cơ bản, phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác và phương trình bậc nhất với sinx và cosx.

• Lý thuyết một số phương trình lượng giác thường gặp và cách giải

* Bài 1 trang 36 SGK Giải tích 11: Giải phương trình: sin²x – sinx = 0

> Lời giải:

- Ta có: sin²x – sinx = 0

$\small \Leftrightarrow sinx(sinx-1)=0$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} sinx=0\\ sinx-1=0 \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} sinx=0\\ sinx=1 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=k\pi\\ x=\frac{\pi}{2}+k2\pi \end{matrix} \right.\: (k\in \mathbb{Z})$

* Bài 2 trang 36 SGK Giải tích 11: Giải các phương trình sau:

a) 2cos²x – 3cosx + 1 = 0

b) 2sin2x + √2.sin4x = 0

> Lời giải:

a) 2cos²x – 3cosx + 1 = 0 (1)

- Ta đặt t = cosx, điều kiện –1 ≤ t ≤ 1

(1) ⇔ 2t² – 3t + 1 = 0

⇔ t = 1 hoặc t = 1/2

+ Với t = 1 ⇒ cosx = 1 ⇔ x = k.2π (k ∈ Z)

+ Với t=1/2 ⇒ cosx = 1/2

$\small \Leftrightarrow cosx=cos\left ( \frac{\pi}{3} \right )$

$\small \Leftrightarrow x= \pm \frac{\pi}{3}+k2\pi\: \: (k\in \mathbb{Z})$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $\small \left \{ k2\pi;\: \pm \frac{\pi}{3}+k2\pi \right \}\: \: k\in \mathbb{Z}$

b) 2sin2x + √2.sin4x = 0

$\small \Leftrightarrow 2sin2x+2\sqrt{2}sin2x.cos2x=0$

$\small \Leftrightarrow 2sin2x(1+\sqrt{2}cos2x)=0$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} sin2x=0\\ 1+\sqrt{2}cos2x=0 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} sin2x=0\\ cos2x=-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} \right.$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} 2x=k\pi\\ 2x=\pm \frac{3\pi}{4}+k2\pi \end{matrix} \right.\: \: (k\in \mathbb{Z})$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=k\frac{\pi}{2}\\ x=\pm \frac{3\pi}{8}+k\pi \end{matrix} \right.\: \: (k\in \mathbb{Z})$

Vậy phương trình có tập nghiệm: $\small \left \{ k\frac{\pi}{2};\pm \frac{3\pi}{8}+k\pi \right \}\: (k\in \mathbb{Z})$

* Bài 3 trang 37 SGK Giải tích 11: Giải các phương trình sau:

$\small a)\: sin^2\frac{x}{2}-2cos\frac{x}{2}+2=0$

$\small b)\: 8cos^2x+2sinx-7=0$

$\small c)\: 2tan^2x+3tanx+1=0$

$\small d)\: tanx-2cotx+1=0$

> Lời giải:

$\small a)\: sin^2\frac{x}{2}-2cos\frac{x}{2}+2=0$

$\small \Leftrightarrow \left ( 1-cos^2\frac{x}{2} \right )-2cos\frac{x}{2}+2=0$

$\small \Leftrightarrow -cos^2\frac{x}{2}-2cos\frac{x}{2}+3=0$

$\small \Leftrightarrow cos^2\frac{x}{2}+2cos\frac{x}{2}-3=0$

(phương trình bậc 2 với ẩn $\small cos\frac{x}{2}$ hệ số a + b + c =0)

$\small \Leftrightarrow\left \[\begin{matrix} cos\frac{x}{2}=1\\ \\ cos\frac{x}{2}=-3\: (L) \end{matrix} \right.$

$\small \Leftrightarrow cos\frac{x}{2}=1\Leftrightarrow cos\frac{x}{2}=cos0$

$\small \Leftrightarrow \frac{x}{2}=k2\pi\Leftrightarrow x=k4\pi\: \: (k\in \mathbb{Z})$

Vậy phương trình có họ nghiệm x = k4π (k ∈ Z)

$\small b)\: 8cos^2x+2sinx-7=0$

⇔ 8(1 – sin²x) + 2sinx – 7 = 0

⇔ 8sin²x - 2sinx – 1 = 0 (phương trình bậc hai với ẩn sinx)

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} sinx=\frac{1}{2}\\ \\ sinx=-\frac{1}{4} \end{matrix} \right.$ $\small \Leftrightarrow\left \[\begin{matrix} x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi\\ x=arcsin\frac{-1}{4}+k2\pi\\ x=\pi-arcsin\frac{-1}{4}+k2\pi \end{matrix} \right.\: \: (k\in \mathbb{Z})$

Vậy phương trình có tập nghiệm:

$\small \left \{ \frac{\pi}{6}+k2\pi;\frac{5\pi}{6}+k2\pi; arcsin\left (-\frac{1}{4} \right )+k2\pi;\pi-arcsin\left (-\frac{1}{4} \right )+k2\pi \right \}$ (k ∈ Z).

$\small c)\: 2tan^2x+3tanx+1=0$

- Điều kiện: x ≠ π/2 + kπ

Ta có: 2tan²x + 3tanx + 1 = 0 (phương trình bậc 2 với ẩn tanx).

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} tanx=-1\\ tanx=-\frac{1}{2} \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=-\frac{\pi}{4}+k\pi\\ x=arctan\left (-\frac{1}{2} \right )+l\pi \end{matrix} \right.\: \: (k\in \mathbb{Z})$

Đối chiếu với điều kiện ta thấy các nghiệm đều thỏa

Vậy phương trình có tập nghiệm: $\small \left \{ -\frac{\pi}{4}+k\pi;arctan\left ( -\frac{1}{2} \right )+k\pi \right \}$

$\small d)\: tanx-2cotx+1=0$

- Điều kiện: $\small \left\{\begin{matrix} x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi\\ x\neq k\pi \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\neq k\frac{\pi}{2}$

- Ta có: $\small tanx-2cotx+1=0$

$\small \Leftrightarrow tanx-2.\frac{1}{tanx}+1=0$

$\small \Leftrightarrow tan^2x+tanx-2=0$ (pt bậc 2 với tanx)

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} tanx=1\\ tanx=-2 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=\frac{\pi}{4}+k\pi\\ x=arctan(-2)+k\pi \end{matrix} \right.\: (k\in \mathbb{Z})$

Đối chiếu với điều kiện thấy các nghiệm đều thỏa

Vậy tập nghiệm của phương trình: $\small \left \{ \frac{\pi}{4}+k\pi;acrtan(-2)+k\pi \right \}\: \: (k\in \mathbb{Z})$

* Bài 4 trang 37 SGK Giải tích 11: Giải các phương trình sau:

a) 2sin²x + sinx.cosx – 3cos²x = 0

b) 3sin² x – 4sinx.cosx + 5cos²x = 2

c) sin²x + sin2x - 2cos²x = 1/2

d) 2cos²x - 3√3sin2x - 4sin²x = -4

> Lời giải:

a) 2sin²x + sinx.cosx – 3cos²x = 0 (*)

+ Xét cosx = 0 ⇒ sin²x = 1 – cos²x = 1

Phương trình (*) trở thành: 2 = 0 (loại)

+ Xét cosx ≠ 0, chia cả hai vế của (1) cho cos²x ta được:

$\small (*)\Leftrightarrow 2\frac{sin^2x}{cos^2x}+\frac{sinx}{cosx}-3=0$

$\small \Leftrightarrow 2tan^2x+tanx-3=0$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} tanx=1\\ tanx=-\frac{3}{2} \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=\frac{\pi}{4}+k\pi\\ x=arctan(-\frac{3}{2})+k\pi \end{matrix} \right.\: (k\in \mathbb{Z})$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $\small \left \{ \frac{\pi}{4} +k\pi;acrtan\left ( -\frac{3}{2} \right )+k\pi\right \}\: (k\in \mathbb{Z})$

b) 3sin²x – 4sinx.cosx + 5cos²x = 2

⇔ 3sin²x – 4sinx.cosx + 5cos²x = 2(sin²x + cos²x)

⇔ sin²x – 4sinx.cosx + 3 cos²x = 0 (*)

+ Xét cosx = 0 ⇒ sin²x = 1.

Phương trình (*) trở thành: 1 = 0 (vô lý).

+ Xét cosx ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho cos²x ta được:

$\small (*)\Leftrightarrow \frac{sin^2x}{cos^2x}-4\frac{sinx}{cosx}+3=0$

$\small \Leftrightarrow tan^2x-4tanx+3=0$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} tanx=1\\ tanx=3 \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=\frac{\pi}{4}+k\pi\\ x=arctan(3)+k\pi \end{matrix} \right.\: (k\in \mathbb{Z})$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $\small \left \{ \frac{\pi}{4} +k\pi;acrtan\left ( 3 \right )+k\pi\right \}\: (k\in \mathbb{Z})$

c) sin²x + sin2x - 2cos²x = 1/2

$\small \Leftrightarrow sin^2+2sinxcosx-2cos^2x=\frac{1}{2}(sin^2x+cos^2x)$

$\small \Leftrightarrow \frac{1}{2}sin^2x+2sinxcosx-\frac{5}{2}cos^2x=0$

$\small \Leftrightarrow sin^2x+4sinxcosx-5cos^2x=0\: \: (*)$

+ Xét cosx = 0 ⇒ sin²x = 1 – cos²x = 1

(*) trở thành: 1 = 0 (vô lý).

+ Xét cosx ≠ 0, chia cả hai vế cho cos²x ta được:

$\small (*)\Leftrightarrow \frac{sin^2x}{cos^2x}+4\frac{sinx}{cosx}-5=0$

$\small \Leftrightarrow tan^2x+4tanx-5=0$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} tanx=1\\ tanx=-5 \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=\frac{\pi}{4}+k\pi\\ x=arctan(-5)+k\pi \end{matrix} \right.\: (k\in \mathbb{Z})$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $\small \left \{ \frac{\pi}{4} +k\pi;acrtan\left ( -5 \right )+k\pi\right \}\: (k\in \mathbb{Z})$

d) 2cos²x - 3√3sin2x - 4sin²x = -4

$\small \Leftrightarrow 2cos^2x-3\sqrt{3}sinxcosx-4sin^2x$ $\small =-4(sin^2x+cos^2x)$

$\small \Leftrightarrow 6cos^2x-6\sqrt{3}sinxcosx=0$

$\small \Leftrightarrow 6cosx(cosx-\sqrt{3}sinx)=0$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} cosx=0\\ cosx-\sqrt{3}sinx=0 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} cosx=0\\ cosx=\sqrt{3}sinx \end{matrix} \right.$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} cosx=0\\ \frac{sinx}{cosx}=\frac{1}{\sqrt{3}} \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} cosx=0\\ tanx=\frac{1}{\sqrt{3}} \end{matrix} \right.$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=\frac{\pi}{2}+k\pi\\ x=\frac{\pi}{6}+k\pi \end{matrix} \right.\: \: (k\in \mathbb{Z})$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $\small \left \{ \frac{\pi}{2} +k\pi; \frac{\pi}{6}+k\pi\right \}\: (k\in \mathbb{Z})$

* Bài 5 trang 37 SGK Giải tích 11: Giải các phương trình sau:

$\small a)\: cosx-\sqrt{3}sinx=\sqrt{2}$

$\small b)\: 3sin3x-4cos3x=5$

$\small c)\: 2sinx+2cosx-\sqrt{2}=0$

$\small d)\: 5cos2x+12sin2x-13=0$

> Lời giải:

$\small a)\: cosx-\sqrt{3}sinx=\sqrt{2}$

$\small \Leftrightarrow \frac{1}{2}cosx-\frac{\sqrt{3}}{2}sinx=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\small \Leftrightarrow cos\frac{\pi}{3}cosx-sin\frac{\pi}{3}sinx=cos\frac{\pi}{4}$

$\small \Leftrightarrow cos\left ( \frac{\pi}{3}+x \right )=cos\frac{\pi}{4}$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi}{4}+k2\pi\\ x+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi}{4}+k2\pi \end{matrix} \right.\: (k\in \mathbb{Z})$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=-\frac{\pi}{12}+k2\pi\\ x=-\frac{7\pi}{12}+k2\pi \end{matrix} \right.\: (k\in \mathbb{Z})$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $\small \left \{ -\frac{\pi}{12} +k2\pi;- \frac{7\pi}{12}+k2\pi\right \}\: (k\in \mathbb{Z})$

$\small b)\: 3sin3x-4cos3x=5$

$\small \Leftrightarrow \frac{3}{5}sin3x-\frac{4}{5}cos3x=1\: (*)$

Ta thấy: $\small \left ( \frac{3}{5} \right )^2+\left ( \frac{4}{5} \right )^2=1$ nên tồng tại α thỏa mãn $\small \left\{\begin{matrix} cos\alpha =\frac{3}{5}\\ sin\alpha =\frac{4}{5} \end{matrix}\right.$

Khi đó (*) trở thành: cosα.sin3x – sinα.cos3x = 1

⇔ sin(3x - α) = 1

$\small \Leftrightarrow 3x-\alpha =\frac{\pi}{2}+k2\pi\: (k\in \mathbb{Z})$

$\small \Leftrightarrow x=\frac{\alpha}{3}+\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}\: (k\in \mathbb{Z})$

Vậy tập nghiệm của phương trình: $\small \left \{ \frac{\alpha}{3}+\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}\right \}\: (k\in \mathbb{Z})$ với α thỏa mãn $\small \left\{\begin{matrix} cos\alpha =\frac{3}{5}\\ sin\alpha =\frac{4}{5} \end{matrix}\right.$ .

$\small c)\: 2sinx+2cosx-\sqrt{2}=0$

$\small \Leftrightarrow 2sinx+2cosx=\sqrt{2}$

$\small \Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{2}}cosx+\frac{1}{\sqrt{2}}sinx=\frac{1}{2}$

$\small \Leftrightarrow cos\left (\frac{\pi}{4} \right )cosx+sin\left (\frac{\pi}{\4} \right )sinx=\frac{1}{2}$

$\small \Leftrightarrow cos\left ( x-\frac{\pi}{4} \right )=cos\frac{\pi}{3}$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3}+k2\pi\\ x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{3}+k2\pi \end{matrix} \right.\: (k\in \mathbb{Z})$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=\frac{7\pi}{12}+k2\pi\\ x=-\frac{\pi}{12}+k2\pi \end{matrix} \right.\: (k\in \mathbb{Z})$

Vậy phương trình có tập nghiệm là: $\small \left \{ \frac{7\pi}{12}+k2\pi;-\frac{\pi}{12}+k2\pi \right \}\: (k\in \mathbb{Z})$

$\small d)\: 5cos2x+12sin2x-13=0$

$\small \Leftrightarrow 5cos2x+12sin2x=13$

$\small \Leftrightarrow \frac{5}{13}cos2x+\frac{12}{13}sin2x=1\: (*)$

Vì $\small \left ( \frac{5}{13} \right )^2+\left ( \frac{12}{13} \right )^2=1$ nên tồn tại α thỏa mãn $\small \left\{\begin{matrix} cos\alpha =\frac{5}{13}\\ sin\alpha =\frac{12}{13} \end{matrix}\right.$

(*) ⇔ cosα.cos2x + sinα.sin2x = 1

⇔ cos(2x - α) = 1

⇔ 2x - α = kπ (k ∈ Z)

⇔ x = (α/2) + kπ (k ∈ Z)

Vậy phương trình có họ nghiệm: {(α/2) + kπ} (k ∈ Z) với α thỏa mãn $\small \left\{\begin{matrix} cos\alpha =\frac{5}{13}\\ sin\alpha =\frac{12}{13} \end{matrix}\right.$

* Bài 6 trang 37 SGK Giải tích 11: Giải các phương trình sau:

a) tan(2x + 1).tan(3x – 1) = 1

b) tanx + tan (x+π/4) = 1

> Lời giải:

a) tan(2x + 1).tan(3x – 1) = 1

- Điều kiện: $\small \left\{\begin{matrix} 2x+1\neq \frac{\pi}{2}+k\pi\\ 3x-1\neq \frac{\pi}{2}+k\pi \end{matrix}\right.\: (k\in \mathbb{Z})$

$\small \Leftrightarrow \small \left\{\begin{matrix} x\neq \frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}+\frac{k\pi}{2}\\ x\neq \frac{\pi}{6}+\frac{1}{3}+\frac{k\pi}{3} \end{matrix}\right.\: (k\in \mathbb{Z})$

- Ta có: tan(2x + 1).tan(3x – 1) = 1

$\small \Leftrightarrow tan(2x+1)=\frac{1}{tan(3x-1)}$

$\small \Leftrightarrow tan(2x+1)=cot(3x-1)$

$\small \Leftrightarrow tan(2x+1)=tan(\frac{\pi}{2}-3x+1)$

$\small \Leftrightarrow 2x+1=\frac{\pi}{2}-3x+1+k\pi$

$\small \Leftrightarrow 5x=\frac{\pi}{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{10}+\frac{k\pi}{5}\: (k\in \mathbb{Z})$

Đối chiếu điều kiện ta thấy tập nghiệm thỏa

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $\small \left \{ \frac{\pi}{10}+\frac{k\pi}{5} \right \}\: (k\in \mathbb{Z})$

b) tanx + tan (x+π/4) = 1

- Điều kiện: $\small \left\{\begin{matrix} x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi\\ x+\frac{\pi}{4}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi \end{matrix}\right.\: (k\in \mathbb{Z})$

$\small \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi\\ x\neq \frac{\pi}{4}+k\pi \end{matrix}\right.\: (k\in \mathbb{Z})$

⇔ tanx.(1 - tanx) + tanx + 1 = 1 – tanx.

⇔ tanx - tan²x + 2.tanx = 0

⇔ tan²x - 3tanx = 0

⇔ tanx(tanx - 3) = 0

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} tanx=0\\ tanx=3 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=k\pi\\ x=arctan(3)+k\pi \end{matrix} \right.$

Đối chiếu điều kiện ta thấy tập nghiệm thỏa,

Vậy tập nghiệm của phương trình là: {kπ; arctan(3)+kπ} (k ∈ Z)

Trên đây là hướng dẫn giải một số bài tập phương trình lượng giác thường gặp: với phương trình bậc nhất, bậc hai của một hàm lượng giác và phương trình bậc nhất với sinx và cosx. KhoiA hy vọng với bài viết này các em đã hiểu rõ khối kiến thức về phương trình lượng giác.

Bài tập phương trình lượng giác thường gặp, phương trình bậc nhất sinx và cosx - Giải tích 11 bài 3

Tags

Đánh giá & nhận xét