Tứ phân vị, Công thức tính tứ phân vị thứ nhất, thứ hai, thứ ba và ví dụ minh hoạ Toán thống kê

16:24:4306/10/2023

Trong nội dung về Toán thống kê và xác suất có nhiều khái niệm, công thức quan trọng mà chúng ta cần nắm vững.

Một trong số đó là khái niệm Tứ phân vị, Công thức tính tứ phân vị thứ nhất, thứ hai, thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm. Nội dung bài viết sau đây sẽ giúp các em hiểu rõ và có thể vận dụng giải bài tập nhanh, chính xác.

1. Công thức tính tứ phân vị thứ nhất

Công thức tính tứ phân vị thứ nhất Q₁:

$\small Q_1=s+\left (\frac{ \frac{n}{4}-cf_{p-1}}{n_p} \right ).h$

Trong đó:

p là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hoặc hoặc bằng $\small \frac{n}{4}$ tức là $\small cf_{p-1}<\frac{n}{4}$ nhưng $\small \dpi{100} \small cf_p\geq \frac{n}{4}$

s, h, n_p lần lượt là mút trái, độ dài, tần số của nhóm p.

$\small cf_{p-1}$ là tần số tích luỹ của nhóm p – 1.

2. Công thức tính tứ phân vị thứ hai

Công thức tính tứ phân vị thứ nhất Q₂:

$\small Q_2=M_e=r+\left (\frac{ \frac{n}{2}-cf_{k-1}}{n_k} \right ).d$

Trong đó:

k là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hoặc hoặc bằng $\small \frac{n}{2}$ tức là $\small cf_{k-1}<\frac{n}{2}$ nhưng $\small cf_k\geq \frac{n}{2}$

r, d, n_k lần lượt là mút trái, độ dài, tần số của nhóm k.

$\small cf_{k-1}$ là tần số tích luỹ của nhóm k – 1.

3. Công thức tính tứ phân vị thứ ba

Công thức tính tứ phân vị thứ nhất Q₃:

$\small Q_3=t+\left (\frac{ \frac{3n}{4}-cf_{q-1}}{n_q} \right ).l$

q là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hoặc hoặc bằng $\small \frac{3n}{4}$ tức là $\small cf_{q-1}<\frac{3n}{4}$ nhưng $\small cf_q\geq \frac{3n}{4}$

t, l, n_q lần lượt là mút trái, độ dài, tần số của nhóm q.

$\small cf_{q-1}$ là tần số tích luỹ của nhóm q – 1.

* Ví dụ: Tính tứ phân vị biết bảng tần số ghép nhóm bao gồm giá trị đại diện và tần số tích lũy như sau:

Nhóm	Giá trị đại diện	Tần số	*Tần số tích lũy (cf_i)*
[40; 45)	42,5	4	4
[45; 50)	47,5	11	15
[50; 55)	52,5	7	22
[55; 60)	57,5	8	30
[60; 65)	62,5	8	38
[65; 70)	67,5	2	40
		n = 40

• Số phần tử của mẫu là n = 40.

* Ta có: $\small \frac{n}{2}=\frac{40}{2}=20$

Mà cf₂ = 15 < 20 < 22 = cf₃ nên nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 20.

Xét nhóm 3 là nhóm [50; 55) có r = 50, d = 5, n₃ = 7 và nhóm 2 là nhóm [45; 50) có cf₂ = 15.

Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu là:

$\small M_e=r+\left (\frac{ \frac{n}{2}-cf_{k-1}}{n_k} \right ).d=50+\frac{20-15}{7}.5\approx 53,6$

⇒ Tứ phân vị thứ hai Q₂ = M_e ≈ 53,6.

* Ta có $\small \frac{n}{4}=\frac{40}{4}=10$ .

Mà cf₁ = 4 < 10 < 15 = cf₂ nên nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 10.

Xét nhóm 2 là nhóm [45; 50) có s = 45; h = 5; n₂ = 11 và nhóm 1 là nhóm [40; 45) có cf₁ = 4.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:

$\small Q_1=s+\left (\frac{ \frac{n}{4}-cf_{p-1}}{n_p} \right ).h=45+\frac{10-4}{11}\approx 47,7(km/h)$

⇒ Tứ phân vị thứ nhất Q₁ ≈ 47,7

* Ta có $\small \frac{3n}{4}=\frac{3.40}{4}=30$ .

Mà cf₄ = 30 nên nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 30.

Xét nhóm 4 là nhóm [55; 60) có t = 55; l = 5; n₄ = 8 và nhóm 3 là nhóm [50; 55) có cf₃ = 22.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:

$\small Q_3=t+\left (\frac{ \frac{3n}{4}-cf_{q-1}}{n_q} \right ).l=55+\frac{30-22} {8}.5=60(km/h)$

⇒ Tứ phân vị thứ ba Q₃ = 60

Trên đây Khối A đã hướng dẫn các em hiểu rõ nội dung: Tứ phân vị, Công thức tính tứ phân vị thứ nhất, thứ hai, thứ ba (Q₁, Q₂, Q₃) như thế nào? Hy vọng câu trả lời của KhoiA.Vn giúp ích cho các em. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết nhé, chúc các em thành công.