Phương trình lượng giác cơ bản và Cách giải - Giải tích 11 bài 2

Nội dung bài này chúng ta sẽ tìm hiểu về các phương trình lượng giác cơ bản này, cách tìm tập nghiệm của các phương trình lượng giác sinx, cosx, tanx hay cotx như thế nào?

• Bài tập phương trình lượng giác cơ bản có đáp án

1. Phương trình sinx = a (1)

- Nếu |a| > 1: phương trình (1) vô nghiệm.

- Nếu |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn sinα = a.

 Khi đó phương trình (1) có các nghiệm là

 Nếu α thỏa mãn điều kiện  và sinα = a thì ta viết:

 α = arcsina.

 Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là:

 x = arcsina + k2π, k ∈ Z

 và x = π - arcsina + k2π, k ∈ Z.

* Nghiệm sinx = a trong các trường hợp đặc biệt:

° a = 1 khi đó sinx = 1 

° a = -1 khi đó sinx = -1

° a = 0 khi đó sinx = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z

° Đặc biệt nếu:

 +)

 +)

* Ví dụ: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sinx = 1/3;

b) sin(x + 45^o) = (-√2)/2.

> Lời giải:

a) sin⁡x = 1/3

⇔ x = arcsin(1/3).

- Vậy phương trình sin⁡x = 1/3 có các nghiệm là:

 x = arcsin(1/3) + k2π, k ∈ Z

và x = π - arcsin(1/3) + k2π, k ∈ Z

b) sin(x + 45^o) = -(√2)/2.

- Vì: (-√2)/2 = sin⁡(-45^o) nên

 sin⁡(x + 45^o) = (-√2)/2

⇔ sin⁡(x+45^o) = sin⁡(-45^o)

⇔ x + 45^o = -45^o + k360^o, k ∈ Z

⇔ x = -45^o - 45^o + k360^o, k ∈ Z

 và x + 45^o = 180^o - (-45^o) + k360^o, k ∈ Z

⇔ x = -90^o + k360^o, k ∈ Z

 và x = 180^o - (-45^o ) - 45^o + k360^o,k ∈ Z

Vậy: x = -90^o + k360^o, k ∈ Z và x = 180^o + k360^o, k ∈ Z

2. Phương trình cosx = a (2)

- Nếu |a| > 1: phương trình (2) vô nghiệm.

- Nếu |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn cosα = a.

 Khi đó phương trình (2) có các nghiệm là:

 x = α + k2π, k ∈ Z

 và x = -α + k2π, k ∈ Z.

Nếu α thỏa mãn điều kiện  và cosα = a thì ta viết:

 α = arccosa.

Khi đó các nghiệm của phương trình (2) là:

 x = arccosa + k2π, k ∈ Z

 và x = -arccosa + k2π, k ∈ Z.

* Nghiệm cosx = a trong các trường hợp đặc biệt:

° a = 1 khi đó cosx = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ Z

° a = -1 khi đó cosx = -1 

° a = 0 khi đó cosx = 0 

° Đặc biệt nếu:

 +) 

 +)

* Ví dụ: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cosx = (-1)/2;

b) cosx = 2/3;

c) cos(x + 30^o) = √3/2.

> Lời giải:

a) cosx = (-1)/2;

- Vì (-1)/2 = cos(2π/3) nên cosx = (-1)/2

⇔ cosx = cos(2π/3)

⇔ x = ±2π/3 + k2π, k ∈ Z

b)cos ⁡x = 2/3

⇔ x = ± arccos 2/3 + k2π, k ∈ Z

c) cos(x + 30^o) = √3/2.

- Vì (√3)/2 = cos30^o nên cos⁡(x + 30^o)= (√3)/2

⇔ cos⁡(x + 30^o) = cos30^o

⇔ x + 30^o = ±30^o + k360^o, k ∈ Z

⇔ x = k360^o, k ∈ Z và x = -60^o + k360^o, k ∈ Z

3. Phương trình tanx = a (3)

- Điều kiện:

- Nếu α thỏa mãn điều kiện  và tanα = a thì ta viết:

 α = arctana.

Khi đó các nghiệm của phương trình (3) là: x = arctana + kπ, k ∈ Z

* Đặc biệt nếu:

 +) tanx = tanα ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z

 +) tanx = tanβ⁰ ⇔ x = β⁰ + k180⁰ , k ∈ Z

* Ví dụ: Giải phương trình lượng giác sau:

a) tanx = 1;      b) tanx = -1;      c) tanx = 0.

> Lời giải:

a) tan⁡x = 1 ⇔ tanx = tan⁡(π/4) ⇔ x = π/4 + kπ, k ∈ Z

b) tanx = -1 ⇔ tan⁡x = tan⁡(-π/4) ⇔ x =(-π/4) + kπ, k ∈ Z

c) tan⁡x = 0 ⇔ tan⁡x = tan⁡0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z

4. Phương trình cotx = a (4)

- Điều kiện: x ≠ kπ, k ∈ Z.

- Nếu α thỏa mãn điều kiện  và cotα = a thì ta viết:

 α = arccota.

Khi đó các nghiệm của phương trình (4) là: x = arccota + kπ, k ∈ Z

* Đặc biệt nếu:

 +) cotx = cotα ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z

 +) cotx = cotβ⁰ ⇔ x = β⁰ + k180⁰ , k ∈ Z.

* Ví dụ: Giải phương trình lượng giác sau

a) cotx = 1;

b) cotx = -1;

c) cotx = 0.

> Lời giải:

a)cot⁡x = 1 ⇔ cot⁡x = cot(π/4) ⇔ x = π/4 + kπ, k ∈ Z

b)cot⁡x = -1 ⇔ cot⁡x = cot⁡(-π/4) ⇔ x = (-π/4) + kπ,k ∈ Z

c)cot⁡x = 0 ⇔ cot⁡x = cot⁡(π/2) ⇔ x = π/2 + kπ, k ∈ Z

> Lưu ý: Khi giải phương trình lượng giác các em cần lưu ý:

- Khi giải phương trình lượng giác có chứa tan hay cot, chứa ẩn ở mẫu, căn bậc chẵn,...thì cần đặt điều kiện cho ẩn.

- Khi giải xong phương trình thì cần chú ý thử lại đáp án, kiểm tra điều kiện.