Cấp số nhân là gì? Công thức tính tổng cấp số nhân và công bội của cấp số nhân - Toán 11 bài 4

20:12:0314/10/2021

Cũng tương tự như cấp số cộng các em đã học ở bài trước, dãy số mà kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q là cấp số nhân.

Vậy cấp số nhân là gì? công thức tính tổng cấp số nhân viết như thế nào? công bội q của cấp số nhân là gì? chúng ta sẽ tìm hiểu trong bài viết này nhé.

I. Cấp số nhân

1. Định nghĩa cấp số nhân

Cấp số nhân là gì? công bội q của cấp số nhân.

- Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

- Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

• Công thức truy hồi của cấp số cộng

- Nếu (un) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi:

 un+1 = un.q với n ∈ N*   (1)

 

Đặc biệt:

- Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u1, 0, 0, ..., 0,...

- Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u1, u1, u1, ..., u1,...

- Khi u1 = 0, thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0,..., 0,...

* Ví dụ: Cho cấp số nhân thỏa mãn u1 = 3, q = 5. Tính u2.

> Lời giải:

- Ta có: u2 = q.u1 = 5.3 = 15.

II. Số hạng tổng quát của cấp số nhân

Định lý 1:

- Nếu cấp số nhân có số hạng đầu uvà công bội q thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức:

 uu1.qn1 với n2    (2)

* Ví dụ: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn u1 = 3, q = 2. Tính u6.

> Lời giải:

- Ta có: u6 = u1.q6-1 = u1.q5 = 3.25 = 3.32 = 96.

III. Tính chất của cấp số nhân

Định lý 2:

- Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đề là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:

    (3)

hay 

* Ví dụ: Cho bốn số: x; 3; 9; y theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tìm x, y.

> Lời giải:

- Theo tính chất của cấp số nhân, ta có:

 33 = x.9 ⇔ x = 1

 92 = 3.y ⇔ y = 27

Vậy x = 1; y = 27. 

IV. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

 Định lý 3:

- Cho cấp số nhân (unvới công bội q1

Đặt: Suuu+ ... un

Khi đó: 

* Ví dụ: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn u1 = 3, q = 5. Tính S10.

> Lời giải:

- Theo công thức tính tổng cấp số nhân, ta có:

 

Với n = 10, u1 = 3 và q = 5 ta được:

 

 

V. Câu hỏi cấp số nhân

* Câu hỏi 1 trang 98 SGK Toán 11 Giải tích: Tục truyền rằng nhà vua Ấn Độ cho phép người phát minh ra bàn cờ Vua được lựa chọn một phần thưởng tùy theo sở thích. Người đó chỉ xin nhà vua thưởng cho số thóc bằng số thóc được đặt lên 64 ô của bàn cờ như sau: Đặt lên ô thứ nhất của bàn cờ một hạt thóc, tiếp ô thứ hai hai hạt,... cứ như vậy, số hạt thóc ở ô sau gấp đôi số hạt thóc ở ô trước cho đến ô cuối cùng.

Hãy cho biết số hạt thóc ở các ô từ ô thứ nhất đến thứ sáu của bàn cờ.

> Lời giải:

- Số hạt thóc ở các ô từ ô thứ nhất đến thứ sáu: 1; 2; 4; 8; 16; 32.

* Câu hỏi 2 trang 99 SGK Toán 11 Giải tích: Hãy đọc hoạt động 1 và cho biết ô thứ 11 có bao nhiêu hạt thóc?

> Lời giải:

- Số hạt thóc ở ô thứ 11 là: 1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 = 210 hạt thóc.

* Câu hỏi 3 trang 101 SGK Toán 11 Giải tích: Cho cấp số nhân (un) với u1 = -2 và q = -1/2.

a) Viết năm số hạng đầu của nó

b) So sánh u22 với tích u1.u3 và u32 với tích u2.u4

Nêu nhận xét tổng quát từ kết quả trên

> Lời giải:

- Ta có:

 

 

 

 

 

b) So sánh u22 với tích u1.u3 và u32 với tích u2.u4

- Ta có:

 

 

 

 

 

 

- Nhận xét:

Trên đây KhoiA.Vn đã giới thiệu với các em về Cấp số nhân, công thức tính tổng cấp số nhân và công bội của cấp số nhân. Hy vọng bài viết giúp các em hiểu rõ hơn. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết, chúc các em thành công

Đánh giá & nhận xét

captcha
Bài viết khác