Cấp số nhân là gì? Công thức tính tổng cấp số nhân và công bội của cấp số nhân - Toán 11 bài 4

Vậy cấp số nhân là gì? công thức tính tổng cấp số nhân viết như thế nào? công bội q của cấp số nhân là gì? chúng ta sẽ tìm hiểu trong bài viết này nhé.

I. Cấp số nhân

1. Định nghĩa cấp số nhân

• Cấp số nhân là gì? công bội q của cấp số nhân.

- Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

- Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

• Công thức truy hồi của cấp số cộng

- Nếu (u_n) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi:

 u_n+1 = u_n.q với n ∈ N^*   (1)

Đặc biệt:

- Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u₁, 0, 0, ..., 0,...

- Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u₁, u₁, u₁, ..., u₁,...

- Khi u₁ = 0, thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0,..., 0,...

* Ví dụ: Cho cấp số nhân thỏa mãn u₁ = 3, q = 5. Tính u₂.

> Lời giải:

- Ta có: u₂ = q.u₁ = 5.3 = 15.

II. Số hạng tổng quát của cấp số nhân

• Định lý 1:

- Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u₁ và công bội q thì số hạng tổng quát u_n được xác định bởi công thức:

 u_n = u₁.qⁿ⁻¹ với n≥2    (2)

* Ví dụ: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn u₁ = 3, q = 2. Tính u₆.

> Lời giải:

- Ta có: u₆ = u₁.q^6-1 = u₁.q⁵ = 3.2⁵ = 3.32 = 96.

III. Tính chất của cấp số nhân

• Định lý 2:

- Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đề là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:

    (3)

hay 

* Ví dụ: Cho bốn số: x; 3; 9; y theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tìm x, y.

> Lời giải:

- Theo tính chất của cấp số nhân, ta có:

 3³ = x.9 ⇔ x = 1

 9² = 3.y ⇔ y = 27

Vậy x = 1; y = 27. 

IV. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

• Định lý 3:

- Cho cấp số nhân (u_n) với công bội q≠1

Đặt: S_n = u₁ + u₂ + u₃ + ... + u_n

Khi đó: 

* Ví dụ: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn u₁ = 3, q = 5. Tính S₁₀.

> Lời giải:

- Theo công thức tính tổng cấp số nhân, ta có:

Với n = 10, u₁ = 3 và q = 5 ta được: