Cách viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k - Toán lớp 11

Vậy cách viết phương trình tiếp tuyến khi có hệ số góc k như thế nào? nội dung toán 11 phần đạo hàm sẽ hướng dẫn chúng ta cách làm bài toán này, chúng ta hãy cùng tìm hiểu ở bài viết này.

• Cách viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k

- Gọi (Δ) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.

- Giả sử M(x_o ; y_o) là tiếp điểm. Khi đó x_o thỏa mãn: f'(x_o) = k; (*)

- Giải phương trình (*) tìm tìm được x_o. khi đó tính: y_o = f(x_o)

- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = k( x - x_o) + y_o

> Chú ý: 

- Số tiếp tuyến của đồ thị chính là số nghiệm của phương trình : f’(x) = k

- Cho hai đường thẳng d₁ : y = k₁x + b₁ và d₂ : y = k₂x + b₂. (k₁; k₂ là hệ số góc của các đường thẳng d₁ và d₂), khi đó:

- Đường thẳng d: y = kx + b tạo với trục hoành một góc α thì: k = ±tanα. 

• Bài tập viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k

* Ví dụ 1 (Bài 5 trang 156 SGK Đại số 11): Viết phương trình tiếp tuyến đường cong y=x³.

a) Tại điểm (-1; -1);

b) Tại điểm có hoành độ bằng 2;

c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.

* Lời giải:

* Với mọi x₀ ∈ R thì:

a) Tiếp tuyến của y = x³ tại điểm (-1; -1) là:

 y = f’(-1)(x + 1) + y(1)

    = 3.(-1)²(x + 1) – 1

    = 3.(x + 1) – 1

    = 3x + 2.

b) Tại điểm có hoành độ: x₀ = 2

 ⇒ y₀ = f(2) = 2³ = 8;

 ⇒ f’(x₀) = f’(2) = 3.2² = 12.

 ⇒ Vậy phương trình tiếp tuyến của y = x³ tại điểm có hoành độ bằng 2 là :

 y = 12(x – 2) + 8 = 12x – 16.

c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến k = 3

 ⇔ f’(x₀) = 3 ⇔ 3x₀² = 3

⇔ x₀² = 1 ⇔ x₀ = ±1.

+ Với x₀ = 1 ⇒ y₀ = 1³ = 1

⇒ Phương trình tiếp tuyến: y = 3.(x – 1) + 1 = 3x – 2.

+ Với x₀ = -1 ⇒ y₀ = (-1)³ = -1

⇒ Phương trình tiếp tuyến : y = 3.(x + 1) – 1 = 3x + 2.

→ Vậy có hai phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x³ có hệ số góc bằng 3 là y = 3x – 2 và y = 3x + 2.

* Ví dụ 2 (Bài 6 trang 156 SGK Đại số 11): Viết phương trình tiếp tuyến của hypebol y = 1/x.

a) Tại điểm (1/2; 2)

b) Tại điểm có hoành độ bằng -1;

c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -1/4

* Lời giải:

 * Với mọi x₀ ∈ R\{0} thì:

a) Tại điểm (1/2; 2)

- Ta có: 

- Do đó phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm (1/2;2) là:

 y = f'(x₀)(x - x₀) + y₀ = -4(x - 1/2) + 2 = -4x + 4

b) Tại điểm có hoành độ bằng -1;

- Tại x₀ = -1 ⇒ y₀ = -1 ⇒ f’(x₀) = -1.

⇒ Vậy phương trình tiếp tuyến của đường cong y = 1/x tại điểm có hoành độ -1 là: y = -1(x + 1) – 1 = -x – 2.

c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -1/4.

+ Với x₀ = 2 ⇒ y₀ = 1/x₀ = 1/2;

⇒ Phương trình tiếp tuyến là: 

+ Với x₀ = -2 ⇒ y₀ = 1/x₀ = -1/2;

⇒ Phương trình tiếp tuyến là: 

⇒ Vậy có hai phương trình tiếp tuyến của hypebol y = 1/x có hệ số góc -1/4 là: