Dãy số là gì? Thế nào là dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn? - Toán 11 bài 2

Vậy dãy số là gì? Thế nào là dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn?  Dãy số hữu hạn và dãy số vô hạn? chúng ta sẽ tìm hiểu trong bài viết này.

I. Dãy số là gì, dãy số hữu hạn, dãy số vô hạn

1. Định nghĩa dãy số

• Dãy số là gì? Dãy số vô hạn

- Mỗi hàm số u xác định trên tập số nguyên dương N^* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:

- Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển u₁, u₂, u₃, ... , u_n, ...

trong đó u_n = u(n) hoặc viết tắt là (u_n) là số hạng thứ n và gọi nó là số hạng tổng quát, u₁ là số hạng đầu của dãy số (u_n).

* Ví dụ 1: Dãy các số tự nhiên lẻ: 1, 3, 5, 7,... có số hạng đầu u₁ = 1 số hạng tổng quát u_n = 2n - 1.

* Ví dụ 2: Dãy các số chính phương: 1, 4, 9, 16,... có số hạng đầu u₁ = 1 số hạng tổng quát u_n = n².

• Dãy số hữu hạn?

- Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3, ..., m}, với m ∈ N^* được gọi là một dãy số hữu hạn.

- Dạng khai triển của nó là: u₁, u₂, u₃, ... , u_m trong đó u₁ là số hạng đầu, u_m là số hạng cuối.

* Ví dụ 1: Dãy: -5, - 2, 1, 4, 7, 10, 13 là dãy số hữu hạn có u₁ = -5, u₇ = 13.

* Ví dụ 2: Dãy:  là dãy số hữu hạn có 

II. Cách cho một dãy số

1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát.

• Dãy u_n = f(n)

 trong đó f là một hàm số xác định trên N^*

- Đây là cách khá thông dụng (giống như hàm số) và nếu biết giá trị của n (hay cũng chính là số thứ tự của số hạng) thì ta có thể tính ngay được u_n.

* Ví dụ: Cho dãy: 

Nếu viết dãy sô này dưới dạng khai triển ta được: 

2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

- Người ta cho một mệnh đề mô tả cách xác định các số hạng liên tiếp của dãy số. Tuy nhiên, thường thì không tìm ngay được u_n với n tuỳ ý.

* Ví dụ: Số π = 3,141 592 653 589

Nếu lập dãy số (u_n) với u_n là giá trị gần đúng của số π với sai số tuyệt đối là 10^-n thì:

 u₁ = 3,1; u₂ = 3,14; u₃ = 3,141; ...

3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi (hay quy nạp)

- Cho số hạng thứ nhất (hoặc một vài số hạng đầu).

- Với n ≥ 2, cho một công thức tính u_n nếu biết u_n-1 (hoặc một vài số hạng đứng trước đó)

Chẳng hạn, các công thức có thể là:

 hoặc

* Ví dụ: Dãy Phi-bô-na-xi là dãy số (u_n) được xác định như sau:

III. Biểu diễn hình học của dãy số

- Vì dãy số là một hàm số trên N^* nên ta có thể biểu diễn dãy số bằng đồ thị. Khi đó, trong mặt phẳng tọa độ, dãy số được biểu diễn bằng các điểm có tọa độ (n; u_n)

* Ví dụ: Dãy số (u_n) với  có biểu diễn hình học như sau:

IV. Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn

1. Thế nào là dãy số tăng?

- Dãy số u_n được gọi là dãy số tăng nếu u_n+1 > u_n với mọi n ∈ N^*.

* Ví dụ: Dãy số (u_n) với u_n = 2n - 1 là dãy số tăng

Vì: u_n+1 - u_n = [2(n + 1) - 1] - [2n - 1] = 2.

2. Thế nào là dãy số giảm?

- Dãy số u_n được gọi là dãy số giảm nếu u_n+1 < u_n với mọi n ∈ N^*.

* Ví dụ: Dãy số (u_n) với  là dãy số giảm.

Vì: 

suy ra u_n+1 < u_n.

• Phương pháp khảo sát tính đơn điệu của dãy số (u_n):

* Phương pháp 1:

Xét hiệu H = u_n+1 - u_n. 

- Nếu H > 0 với mọi n ∈ N^* thì dãy số tăng

- Nếu H < 0 với mọi n ∈ N^* thì dãy số giảm.

* Phương pháp 2:

Nếu u_n > 0 với mọi n ∈ N^* thì lập tỉ số  rồi so sánh với 1.

- Nếu với mọi n ∈ N^* thì dãy số tăng.

- Nếu  với mọi n ∈ N^* thì dãy số giảm.

3. Thế nào là dãy số bị chặn?

- Dãy số u_n được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho u_n ≤ M, với mọi n ∈ N^*.

- Dãy số U_n được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho u_n > m, với mọi n ∈ N^*.

- Dãy số U_n được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới tức là tồn tại hai số m, M sao cho: m ≤ u_n ≤ M với mọi n ∈ N^*.

* Ví dụ 1: Dãy số Phi-bô-na-xi bị chặn dưới u_n≥1 với mọi n ∈ N^*.

* Ví dụ 2: Dãy số (u_n) với  bị chặn vì: