Bài tập Phương trình lượng giác cơ bản có đáp án lời giải - Giải tích 11 bài 2

13:58:0621/07/2021

Các phương trình lượng giác cơ bản như phương trình sin, cos, tan và cot các em đã được tìm hiểu nội dung lý thuyết trong bài viết trước.

Bài này sẽ áp dụng các kiến thức đã học đó để giải một số bài tập phương trình lượng giác cơ bản của sin, cos, tan và cot.

• Lý thuyết phương trình lượng giác cơ bản và cách giải

* Bài 1 trang 28 SGK Giải tích 11: Giải các phương trình sau:

a) $\small sin(x+2)=\frac{1}{3}$

b) sin3x = 1;

c) $\small sin(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3})=0$

d) $\small sin(2x+20^0)=\frac{-\sqrt{3}}{2}$

> Lời giải:

a) $\small sin(x+2)=\frac{1}{3}$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x+2=arcsin\frac{1}{3}+k2\pi\\ x+2=\pi-arcsin\frac{1}{3}+k2\pi \end{matrix} \right.\:( k\in \mathbb{Z})$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=arcsin\left (\frac{1}{3} \right )-2+k2\pi\\ x=\pi-arcsin\left (\frac{1}{3} \right )-2+k2\pi \end{matrix} \right.\:( k\in \mathbb{Z})$

b) sin3x = 1;

$\small \Leftrightarrow sin3x=sin\left ( \frac{\pi}{2} \right )$ $\small \Leftrightarrow 3x= \frac{\pi}{2} +k2\pi$

$\small \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6} +\frac{k2\pi}{3}\: (k \in \mathbb{Z})$

c) $\small sin(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3})=0$

$\small \Leftrightarrow sin(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3})=sin0 \Leftrightarrow \frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3}=k\pi$

$\small \Leftrightarrow \frac{2x}{3}=\frac{\pi }{3}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+\frac{3k\pi}{2}\: (k\in \mathbb{Z})$

d) $\small sin(2x+20^0)=\frac{-\sqrt{3}}{2}$

$\small \Leftrightarrow sin(2x+20^0)=sin(-60^0)$

$\small \Leftrightarrow\left \[\begin{matrix} 2x+20^0=-60^0+k360^0\\ 2x+20^0=180^0+60^0+k360^0 \end{matrix}\right.$

$\small \Leftrightarrow\left \[\begin{matrix} 2x=-80^0+k360^0\\ 2x=220^0+k360^0 \end{matrix}\right.$

$\small \Leftrightarrow\left \[\begin{matrix} x=-40^0+k180^0\\ x=110^0+k180^0 \end{matrix}\right.\: (k\in \mathbb{Z})$

* Bài 2 trang 28 SGK Giải tích 11: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sinx bằng nhau?

> Lời giải:

- Thực chất đây là bài toán giải phương trình lượng giác: sin3x = sinx

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} 3x=x+k2\pi\\ 3x=\pi-x+k2\pi \end{matrix} \right. \: (k\in \mathbb{Z})$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} 2x=+k2\pi\\ 4x=\pi+k2\pi \end{matrix} \right. \: (k\in \mathbb{Z})$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=k\pi\\ x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2} \end{matrix} \right. \: (k\in \mathbb{Z})$

Vây với $\small x\in \left \{ k\pi;\frac{\pi}{4} +\frac{k\pi}{2}\right \}\: (k\in \mathbb{Z})$ thì sin3x = sinx.

* Bài 3 trang 28 SGK Giải tích 11: Giải các phương trình sau:

$\small a)\: cos(x-1)=\frac{2}{3};$

$\small b)\: cos3x=cos12^0;$

$\small c)\: cos(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{4})=-\frac{1}{2};$

$\small d)\: cos^22x=\frac{1}{4};$

> Lời giải:

$\small a)\: cos(x-1)=\frac{2}{3}$

$\small \Leftrightarrow x-1=\pm arccos\left ( \frac{2}{3} \right )+k2\pi$

$\small \Leftrightarrow x=1 \pm arccos\left ( \frac{2}{3} \right )+k2\pi,\: k\in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình có họ nghiệm $\small x=1 \pm arccos\left ( \frac{2}{3} \right )+k2\pi,\: k\in \mathbb{Z}$

$\small b)\: cos3x=cos12^0$

⇔ 3x = ±12º + k.360º , k ∈ Z

⇔ x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

Vậy phương trình có họ nghiệm x = ±4º + k.120º, k ∈ Z.

$\small c)\: cos(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{4})=-\frac{1}{2}$

$\small \Leftrightarrow cos\left ( \frac{3x}{2}-\frac{\pi}{4} \right )=cos\left ( \frac{2\pi}{3} \right )$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} \frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4}=\frac{2\pi}{3}+k2\pi\\ \\ \frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4}=\frac{-2\pi}{3}+k2\pi \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} \frac{3x}{2}=\frac{11\pi}{12}+k2\pi\\ \\ \frac{3x}{2}=\frac{-5\pi}{12}+k2\pi \end{matrix}\right.$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=\frac{11\pi}{18}+\frac{4k\pi}{3}\\ \\ x=\frac{-5\pi}{18}+\frac{4k\pi}{3} \end{matrix}\right.\: (k\in \mathbb{Z})$

Vậy phương trình có hai họ nghiệm: $\small \left \[\begin{matrix} x=\frac{11\pi}{18}+\frac{4k\pi}{3}\\ \\ x=\frac{-5\pi}{18}+\frac{4k\pi}{3} \end{matrix}\right.\: (k\in \mathbb{Z})$

* Bài 4 trang 29 SGK Giải tích 11: Giải phương trình: $\small \frac{2cos2x}{1-sin2x}=0$

> Lời giải:

- Hàm chưa biến ở mẫu, nên cần tìm điều kiện xác định trước:

- Điều kiện: 1 - sin2x ≠ 0 ⇔ sin2x ≠ 1.

- Ta có: $\frac{cos2x}{1-sin2x}=0$

$\small \Leftrightarrow 2cos2x=0$ $\small \Leftrightarrow cos2x=0$

$\small \Leftrightarrow cos2x=cos\left ( \frac{\pi}{2} \right )$ $\small \Leftrightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+k\pi\: (k\in \mathbb{Z})$

$\small \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\: (k\in \mathbb{Z})$

Vì cần đối chiếu điều kiện, nên đến đây ta vẫn phải làm tiếp.

- Trường hợp k lẻ, tức: k = 2n + 1 (n∈Z)

$\small \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+(2n+1).\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{4}+n\pi$

$\small \Rightarrow sin2x=sin\left ( \frac{3\pi}{2}+2n\pi \right )=-1,\: \forall n\:$

Thỏa điều kiện sin2x ≠ 1 nên nhận.

- Trường hợp k chẵn, tức: k = 2n (n∈Z)

$\small \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+n\pi$

$\small \Rightarrow sin2x=sin\left ( \frac{\pi}{2}+2n\pi \right )=1,\: \forall n\:$

KHÔNG thỏa điều kiện sin2x ≠ 1 nên loại.

Kết luận: Phương trình có họ nghiệm: $\small x=\frac{3\pi}{4}+n\pi,\: (n\in \mathbb{Z})$

* Bài 5 trang 29 SGK Giải tích 11: Giải các phương trình sau:

$\small a)\: tan(x-15^0)=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\small b)\: cot(3x-1)=-\sqrt{3}$

$\small c)\: cos2x.tanx=0$

$\small d)\: sin3x.cotx=0$

> Lời giải:

$\small a)\: tan(x-15^0)=\frac{\sqrt{3}}{3}$ (1)

- Điều kiện: x – 15º ≠ 90º + k.180º, ∀ k ∈ Z.

(1) ⇔ tan(x - 15⁰) = tan(30⁰)

⇔ x – 15º = 30º + k180º , k ∈ Z

⇔ x = 45º + k.180º, k ∈ Z

Vậy phương trình có họ nghiệm x = 45º + k.180º (k ∈ Z).

$\small b)\: cot(3x-1)=-\sqrt{3}$ (2)

- Điều kiện: 3x - 1 ≠ kπ, ∀ k ∈ Z.

$\small (2)\Leftrightarrow cot(3x-1)=cot\left ( \frac{5\pi}{6} \right )$ $\small \Leftrightarrow 3x+1=\frac{5\pi}{6}+k\pi$

$\small \Leftrightarrow x=\frac{1}{3}+\frac{5\pi}{18}+\frac{k\pi}{3},\: (k\in \mathbb{Z})$

Đối chiếu điều kiện xác định ta thấy mọi giá trị thuộc họ nghiệm đều thỏa mãn.

Vậy phương trình có họ nghiệm: $\small x=\frac{1}{3}+\frac{5\pi}{18}+\frac{k\pi}{3},\: (k\in \mathbb{Z})$

> Lưu ý: Vì $\small cot\left ( \frac{5\pi}{6} \right )=cot\left ( -\frac{\pi}{6} \right )=-\sqrt{3}$ nên các bạn có thể sử dụng kết quả nào cũng đúng.

$\small c)\: cos2x.tanx=0$ (3)

- Điều kiện xác định: $\small x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi$

$\small (3)\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} cos2x=0\\ tanx=0 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} cos2x=cos\frac{\pi}{2}\\ tanx=tan0 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} 2x=\frac{\pi}{2}+k\pi \\ x=k\pi \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2} \\ x=k\pi \end{matrix} \right.,\: (k\in \mathbb{Z})$

Đối chiếu điều kiện thấy hai họ nghiệm trên đều thỏa.

Vậy phương trình có hai họ nghiệm: $\small x\in \left \{ \frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2};k\pi \right \}\: (k\in \mathbb{Z})$

$\small d)\: sin3x.cotx=0$ (4)

- Điều kiện xác định: x ≠ kπ, ∀k ∈ Z.

$\small (4)\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} sin3x=0\\ cotx=0 \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} sin3x=sin0\\ cotx=cot\left ( \frac{\pi }{2} \right ) \end{matrix} \right.$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} 3x=k\pi\\ x=\frac{\pi}{2}+k\pi \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=\frac{k\pi}{3}\\ x=\frac{\pi}{2}+k\pi \end{matrix} \right.\: (k\in \mathbb{Z})$

Đối chiếu điều kiện thì $\small x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ luôn thỏa.

Nghiệm $\small x=\frac{k\pi}{3}$ thỏa khi k = 3n + 1 và 3n + 2 (có thể lấy 3n - 1) với n ∈ Z.

Vậy phương trình có các họ nghiệm:

$\small x\in \left \{ \frac{\pi}{3}+n\pi;\frac{2\pi}{3}+n\pi;\frac{\pi}{2}+k\pi \right \},\: (n,k\in\mathbb{Z})$

hoặc có thể viết họ nghiệm là: $\small x\in \left \{\pm \frac{\pi}{3}+n\pi;\frac{\pi}{2}+k\pi \right \},\: (n,k\in\mathbb{Z})$ (n và k có thể lấy giá trị nguyên giống nhau).

* Bài 6 trang 29 SGK Giải tích 11: Với giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = tan((π/4) - x) và y = tan2x bằng nhau?

> Lời giải:

- Điều kiện xác định:

$\small \left\{\begin{matrix} \frac{\pi}{4}-x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi\\ \\ 2x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \neq -\frac{\pi}{4}+k\pi\\ \\ x \neq \frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2} \end{matrix}\right.\: (k\in \mathbb{Z})$

$\small \Leftrightarrow x\neq \frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\: \: (k\in \mathbb{Z})$

- Ta có: $\small tan\left ( \frac{\pi }{4}-x \right )=tan2x$

$\small \Leftrightarrow 2x=\frac{\pi}{4}-x+k\pi$

$\small \small \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{3}\: \: (k\in \mathbb{Z})$

Đối chiếu điều kiện ta suy ra: $\left \[\begin{matrix} x=\frac{\pi}{12}+k\pi\\ \\ x =\frac{5\pi}{12}+k\pi \end{matrix} \right.\: \: (k\in \mathbb{Z})$

Vậy với $\left \[\begin{matrix} x=\frac{\pi}{12}+k\pi\\ \\ x =\frac{5\pi}{12}+k\pi \end{matrix} \right.\: \: (k\in \mathbb{Z})$ thì $\small tan\left ( \frac{\pi }{4}-x \right )=tan2x$

* Bài 7 trang 29 SGK Giải tích 11: Giải các phương trình sau:

a) sin3x - cos5x = 0

b) tan3x.tanx = 1

> Lời giải:

a) sin3x - cos5x = 0

$\small \Leftrightarrow cos5x=sin3x$

$\small \Leftrightarrow sin\left (\frac{\pi}{2}-5x \right )=sin3x$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} \frac{\pi}{2}-5x =3x+k2\pi\\ \\ \frac{\pi}{2}-5x =\pi-3x+k2\pi \end{matrix} \right.$ $\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} 8x =\frac{\pi}{2}+k2\pi\\ \\ 2x =-\frac{\pi}{2}+k2\pi \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x =\frac{\pi}{16}+\frac{k\pi}{4}\\ \\ x =-\frac{\pi}{4}+k\pi \end{matrix} \right.\: \: (k\in \mathbb{Z})$

Vậy phương trình có hai họ nghiệm: $\small x\in \left \{ \frac{\pi}{16}+\frac{k\pi}{4};-\frac{\pi}{4}+k\pi \right \}\: \: (k\in \mathbb{Z})$

b) tan3x.tanx = 1 (*)

- Điều kiện: $\small 3x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi;\: x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi$

$\small (*)\Leftrightarrow tan3x=\frac{1}{tanx}\Leftrightarrow tan3x=cotx$

$\small \Leftrightarrow tan3x=tan\left (\frac{\pi}{2}-x \right )$

$\small \Leftrightarrow 3x = \frac{\pi}{2}-x + k \pi\: \: (k\in \mathbb{Z})$

$\small \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{8} +\frac{ k \pi }{4}\: \: (k\in \mathbb{Z})$

Đối chiếu điều kiện, thấy các nghiệm thuộc họ nghiệm trên đều thỏa.

Vậy phương trình có họ nghiệm: $\small x = \frac{\pi}{8} +\frac{ k \pi }{4}\: \: (k\in \mathbb{Z})$

Trên đây là hướng dẫn giải một số bài tập phương trình lượng giác cơ bản có đáp án. KhoiA hy vọng qua bài viết này các em có thể hiểu rõ hơn khối kiến thức về phương trình lượng giác cơ bản, chúc các em học tốt.

Bài tập Phương trình lượng giác cơ bản có đáp án lời giải - Giải tích 11 bài 2

Tags

Đánh giá & nhận xét