Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ y0 - Toán lớp 11

Vì vậy cách viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ y₀ cho trước cũng sẽ vận dụng tương tự cách viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm, cụ thể:

I. Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ y₀ như sau

- Bước 1:  Gọi M(x₀, y₀) là tiếp điểm. Từ y₀ ta giải phương trình f(x) = y₀ tìm được các nghiệm x₀.

- Bước 2: Tính đạo hàm y' = f'(x) của hàm số f(x) ⇒ f'(x_0).

- Bước 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (x₀, y₀) có dạng:

 y - y₀ = f'(x₀).(x - x₀)

> Lưu ý: Nguyên tắc chung để lập được phương trình tiếp tuyến là ta phải tìm được hoành độ tiếp điểm x₀.

II. Bài tập minh họa viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ y₀

* Bài tập 1: Cho hàm số y= x³ + 4x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ bằng 2.

> Lời giải:

Hàm số y= x³ + 4x + 2.

- Xét phương trình: x³+ 4x+ 2= 2

⇔ x³+ 4x = 0 ⇔ x= 0

- Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’ = 3x² + 4

⇒ y’(0) = 2.0² + 4 = 4

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ là 2 có dạng: y - y₀ = f'(x₀).(x - x₀)

⇔ y - 2 = 4(x – 0)

⇔ y= 4x + 2

Vậy phương trình tiếp tuyến của hàm số y= x³ + 4x + 2 tại điểm có tung độ bằng 2 là: y= 4x + 2.

* Bài tập 2: Cho hàm số y = x³ + x² + 3. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 3.

> Lời giải:

- Hàm số y = x³ + x² + 3

- Tung độ y₀ = 3, xét phương trình: x³+ x² + 3= 3

⇔ x³+ x² = 0 ⇔ x²(x + 1) = 0

⇔ x = 0 hoặc x = -1

Như vậy sẽ có 2 tiếp tuyến tại hai điểm có tung độ bằng 3 là (0;3) và (-1;3).

- Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’ = 3x² + 2x

⇒ y’(0) = 3.0² + 2.0 = 0

 và y'(-1) = 3.(-1)² + 2.(-1) = 3 - 2 = 1

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ là 2 có dạng: y - y₀ = f'(x₀).(x - x₀)

* Với điểm có tọa độ (0;3) là: y - 3 = 0.(x - 0) ⇔ y = 3

* Với điểm có tọa độ (-1;3) là: y - 3 = 1.(x - (-1))  ⇔ y = x + 4

Vậy tại điểm có tung độ bằng 3 hàm số y = x³ + x² + 3 có 2 phương trình tiếp tuyến là: y = 3 và y = x + 4.