Bài 7 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 Cánh Diều

09:19:1724/10/2023

Cách giải Bài 7 trang 80 Toán 11 tập 1 Cánh diều - SGK đầy đủ dễ hiểu nhất

Bài 7 trang 80 Toán 11 tập 1 Cánh Diều:

Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A₁B₁C₁ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A₂B₂C₂ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A₂B₂C₂, ..., Tam giác A_n+1B_n+1C_n+1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A_nB_nC_n, ... Gọi p₁, p₂, ..., p_n, ... và S₁, S₂, ..., S_n, ... theo thứ tự là chu vi và diện tích của tam giác A₁B₁C₁, A₂B₂C₂, ..., A_nB_nC_n, ...

a) Tìm giới hạn của dãy số (p_n) và (S_n).

b) Tính các tổng p₁ + p₂ + ... + p_n + ... và S₁ + S₂ + ... + S_n + ... .

Giải bài 7 trang 80 Toán 11 tập 1 Cánh Diều:

Ta có hình vẽ sau: Giải bài 7 trang 80 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

a) Tìm giới hạn của dãy số (p_n) và (S_n).

• (p_n) là dãy số chu vi của các tam giác theo thứ tự ABC, A₁B₁C₁, ...

Ta có: p₁ = p_∆ABC = a + a + a = 3a;

$\small p_2=p_{\Delta A_1B_1C_1}=\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{a}{2}=\frac{1}{2}.3a=\frac{1}{2}.p_1$

$\small \dpi{100} \small p_3=p_{\Delta A_2B_2C_2}=\frac{a}{4}+\frac{a}{4}+\frac{a}{4}=\left ( \frac{1}{2} \right )^2 .3a=\left ( \frac{1}{2} \right )^2.p_1$

...

$\small p_n=\left ( \frac{1}{2} \right )^{n-1}.p_1$

Suy ra:

$\small \lim_{n\rightarrow \infty }p_n=\lim_{n\rightarrow \infty }\left [ \left ( \frac{1}{2} \right )^{n-1}.(3a) \right ]$ $\small =\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( \frac{1}{2} \right )^{n-1}.\lim_{n\rightarrow \infty }(3a)=0.3a=0$

• (S_n) là dãy số chu vi của các tam giác theo thứ tự ABC, A₁B₁C₁, ...

Gọi h là chiều cao của tam giác ABC và $\small h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Ta có: $\small S_1=S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}ah$

$\small S_2=S_{\Delta A_1B_1C_1}=\frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{h}{2}=\frac{1}{4}.\left ( \frac{1}{2}ah \right )=\frac{1}{4}.S_1$

$\small S_3=S_{\Delta A_2B_2C_2}=\frac{1}{2}.\frac{a}{4}.\frac{h}{4}=\left ( \frac{1}{4} \right )^2.\left ( \frac{1}{2}ah \right )=\left ( \frac{1}{4} \right )^2.S_1$

...

$\small S_n=\left ( \frac{1}{4} \right )^{n-1}.S_1$

Suy ra:

$\small \lim_{n\rightarrow \infty }S_n=\lim_{n\rightarrow \infty }\left [ \left ( \frac{1}{4} \right )^{n-1}.\left ( \frac{1}{2}ah \right ) \right ]$ $\small =\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( \frac{1}{4} \right )^{n-1}.\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( \frac{1}{2}ah \right )=0.\frac{1}{2}ah=0$

b) Tính các tổng

• Ta có (p_n) là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu p₁ = 3a và công bội q = 1/2 thỏa mãn |q| < 1 có tổng:

$\small P_n=p_1+p_2+...+p_n+...=\frac{p_1}{1-q}=\frac{3a}{1-\frac{1}{2}}=6a$

• Ta cũng có (S_n) là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu S₁ = (1/2).ah và công bội q = 1/4 thỏa mãn |q| < 1 có tổng:

$\small S_n=S_1+S_2+...+S_n+...=\frac{S_1}{1-q}=\frac{\frac{1}{2}ah}{1-\frac{1}{4}}=\frac{2}{3}ah$

Trên đây KhoiA.Vn đã viết nội dung bài 7 trang 80 Toán 11 Cánh diều tập 1 và hướng dẫn cách giải bài 7 trang 80 Toán 11 SGK Cánh diều đầy đủ chính xác nhất. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết nhé, chúc các em thành công.

• Xem hướng dẫn giải Toán 11 Trang 79, 80 Cánh diều Tập 1

> Bài 1 trang 79 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x₀ ∈ (a; b). Điều kiện cần...

> Bài 2 trang 79 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều: Tính các giới hạn sau:...

> Bài 3 trang 79 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều: Tính các giới hạn sau:...

> Bài 4 trang 79 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều: Tính các giới hạn sau:...

> Bài 5 trang 79 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều: Cho hàm số f(x)...Với a = 0, b = 1, xét tính liên tục của hàm số tại x = 2...

> Bài 6 trang 80 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều: Từ độ cao 55,8 m của tháp nghiêng Pisa nước Ý, người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống...

> Bài 7 trang 80 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều: Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A₁B₁C₁ có các đỉnh là trung điểm...

> Bài 8 trang 80 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều: Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f. Gọi d và d’ lần lượt là khoảng cách từ một vật thật...