Bài 7 trang 100 SGK Toán 11 tập 1 Cánh Diều

Bài 7 trang 100 Toán 11 tập 1 Cánh Diều:

Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD. Trên cạnh AC lấy điểm K. Gọi M là giao điểm của BK và AI, N là giao điểm của DK và AJ. Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với đường thẳng BD.

Giải bài 7 trang 100 Toán 11 tập 1 Cánh Diều:

Ta có hình vẽ sau:

• Ta có: B ∈ (BDK) và B ∈ (BCD) nên B là giao điểm của (BDK) và (BCD).

D ∈ (BDK) và D ∈ (BCD) nên D là giao điểm của (BDK) và (BCD).

⇒ (BDK) ∩ (BCD) = BD.

• Ta có: M ∈ BK mà BK ⊂ (BDK) nên M ∈ (BDK); 

 M ∈ AI mà AI ⊂ (AIJ) nên M ∈ (AIIJ)

⇒ M là giao điểm của (BDK) và (AIJ)

Tương tự ta cũng có N là giao điểm của (BDK) và (AIJ)

⇒ (BDK) ∩ (AIJ) = MN.

• Ta có: I ∈ BC mà BC ⊂ (BCD) nên I ∈ (BCD)

Lại có I ∈ (AIJ) nên I là giao điểm của (BCD) và (AIJ)

Tương tự ta cũng có J là giao điểm của (BCD) và (AIJ)

⇒ (BCD) ∩ (AIJ) = IJ.

• Xét DBCD có I, J lần lượt là trung điểm của BC, CD nên IJ là đường trung bình của tam giác

⇒ IJ // BD.

• Ta có: (BDK) ∩ (BCD) = BD;

 (BDK) ∩ (AIJ) = MN;

 (BCD) ∩ (AIJ) = IJ;

 IJ // BD.

⇒ MN // BD.