Bài 5 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 Cánh Diều

Bài 5 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 Cánh Diều: 

Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T = 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân ra thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã).

(Nguồn: Đại số và Giải tích 11, NXB GD Việt Nam, 2021).

Gọi u_n là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n.

a) Tìm số hạng tổng quát u_n của dãy số (u_n).

b) Chứng minh rằng (u_n) có giới hạn là 0.

c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn bé lại bé hơn 10^{– 6} g.

Giải bài 5 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 Cánh Diều:

a) Tìm số hạng tổng quát u_n của dãy số (u_n).

Ta có: Sau 1 chu kì bán rã: u₁ = 1/2 

Sau 2 chu kì bán rã: u₂ = (1/2)²;...

Như vậy, (u_n­) lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 1/2 và q = 1/2 có số hạng tổng quát là:

b) Ta có: 

c) Đổi 

Để chất phóng xạ bé hơn 10^-6 (g) thì:

Vậy sau 30 chu kì tương ứng với 30.24000 = 720 000 năm, khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người