Bài 2 trang 113 SGK Toán 11 tập 1 Cánh Diều

Bài 2 trang 113 Toán 11 tập 1 Cánh Diều:

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AA’, C’D’, AD’. Chứng minh rằng:

a) NQ // A’D’ và 

b) Tứ giác MNQC là hình bình hành;

c) MN // (ACD’);

d) (MNP) // (ACD’).

Giải bài 2 trang 113 Toán 11 tập 1 Cánh Diều:

a) chứng minh NQ // A’D’ và NQ = A'D'/2

Ta có hình vẽ sau:

Trong mp(ADD’A’), xét DAA’D’ có N, Q lần lượt là trung điểm của AA’ và AD’

Do đó NQ là đường trung bình của tam giác

⇒ NQ // A’D’ và NQ = A’D’/2

b) chứng minh Tứ giác MNQC là hình bình hành

Ta có hình vẽ sau:

Ta có: A’D’ // AD // BC, mà NQ // A’D’ (câu a) nên NQ // BC hay NQ // MC.

Ta cũng có A’D’ = AD = BC, mà NQ = A’D’/2 (câu a) nên NQ = BC/2

Lại có BM = MC = BC/2 (do M là trung điểm BC)

⇒ NQ = MC.

Tứ giác MNQC có NQ // MC và NQ = MC nên là MNQC hình bình hành.

c) chứng minh MN // (ACD’)

Ta có hình vẽ sau:

Do MNQC hình bình hành nên MN // QC

Mà QC ⊂ (ACD’) nên MN // (ACD’).

d) chứng minh (MNP) // (ACD’)

Ta có hình vẽ sau:

Gọi O là trung điểm của ABCD.

Trong (ABCD), xét DABC có O, M lần lượt là trung điểm của AC, BC nên OM là đường trung bình của tam giác

Do đó OM // AB và OM = AB/2.

Mà AB // D’P nên OM // D’P.

Lại có D’P = D’C’/2 và D’C’ = AB nên OM = D’P.

Xét tứ giác D’PMO có OM // D’P và OM = D’P nên là hình bình hành

⇒ PM // D’O

Mà D’O ⊂ (ACD’) nên PM // (ACD’).

Ta có: MN // (ACD’);

 PM // (ACD’);

 MN, PM cắt nhau tại điểm M và cùng nằm trong mp(MNP)

⇒  (MNP) // (ACD’).