Bài 1 trang 113 SGK Toán 11 tập 1 Cánh Diều

Bài 1 trang 113 Toán 11 tập 1 Cánh Diều:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.

a) Chứng minh rằng (ACB’) // (A’C’D).

b) Gọi G₁, G₂ lần lượt là giao điểm của BD’ với các mặt phẳng (ACB’) và (A’C’D). Chứng minh rằng G₁, G₂ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ACB’ và A’C’D.

c) Chứng minh rằng BG₁ = G₁G₂ = D’G₂

Giải bài 1 trang 113 Toán 11 tập 1 Cánh Diều:

a) Chứng minh rằng (ACB’) // (A’C’D).

Ta có hình minh hoạ như sau:

Ta có: (ABCD) // (A’B’C’D’) ( do ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp);

 (ABCD) ∩ (ACC’A’) = AC;

 (A’B’C’D’) ∩ (ACC’A’) = A’C’.

⇒ AC // A’C’.

Mà A’C’ ⊂ (A’C’D) nên AC // (A’C’D).

Chứng minh tương tự ta cũng có AB’ // DC’ mà DC’ ⊂ (A’C’D) nên AB’ // (A’C’D).

Ta có: AC // (A’C’D);

 AB’ // (A’C’D);

 AC, AB’ cắt nhau tại điểm A và cùng nằm trong mp(ACB’).

⇒ (ACB’) // (A’C’D).

b) Chứng minh rằng G₁, G₂ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ACB’ và A’C’D.

Ta có hình minh hoạ như sau:

• Gọi O là tâm hình bình hành đáy ABCD, I là giao điểm của BD’ và DB’.

Tứ giác BDD’B’ có BB’ // DD’ và BB’ = DD’ nên là hình bình hành.

Do đó hai đường chéo BD’ và DB’ cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường.

Trong mp(BDD’B’), BD’ cắt B’O tại G₁.

Mà B’O ⊂ (ACB’) nên G₁ là giao điểm của BD’ với (ACB’).

Trong mp(BDD’B’), xét ΔBDB’ có hai đường trung tuyến BI, B’O cắt nhau tại G₁ nên G₁ là trọng tâm của DBDB’

Do đó: 

Trong (ACB’), xét ΔACB’ có B’O là đường trung tuyến và 

⇒ G₁ là trọng tâm của ΔACB’.

Chứng minh tương tự như trên ta cũng có: G₂ là trọng tâm của ΔDD’B’ nên:

Trong (A’C’D), ΔA’C’D có DO’ là đường trung tuyến và  

⇒ G₁ là trọng tâm của ΔA’C’D.

c) Chứng minh rằng BG₁ = G₁G₂ = D’G₂

Theo chứng minh câu b),

Ta có: G₁ là trọng tâm của ΔBDB’ nên:  và 

Ta có: G₂ là trọng tâm của ΔDD’B’ nên:  và 

Do đó:  và 

Ta có:  và BI = D’I (do I là trung điểm của BD’)

⇒  BG₁ = D’G₂.

Lại có:  nên 

Vậy BG₁ = G₁G₂ = D’G₂.