Phương pháp quy nạp toán học ví dụ về phương pháp quy nạp - Toán 11 bài 1

10:15:4113/10/2021

Phương pháp quy nạp toán học thường được dùng để chứng minh các bài toán mang tính tổng quát. Đối với nhiều em học sinh, thì đây là dạng toán khó dù có các bước hướng dẫn và phương pháp chứng minh rất cụ thể.

Bài viết này, các em sẽ được giới thiệu với về phương pháp quy nạp toán học với các bước giải cụ thể và chi tiết, các ví dụ minh họa về phương pháp quy nạp để các em dễ hiểu hơn.

I. Phương pháp quy nạp toán học

* Bài toán:

Gọi P(n) là một mệnh đề chứa biến n (n ∈ N^*). Chứng minh P(n) đúng với mọi số tự nhiên n ∈ N^*.

* Phương pháp quy nạp toán học

- Bước 1: Chứng minh P(n) đúng với n = 1.

- Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý, giả sử P(n) đúng với n = k ≥ 1, chứng minh P(n) cũng đúng khi n = k + 1.

> Chú ý:

Đối với bài toán chứng minh P(n) đúng với mọi n ≥ p với p là số tự nhiên cho trước thì:

- Bước 1: Chứng minh P(n) đúng với n = p.

- Bước 2: Với k ≥ p là một số nguyên dương tùy ý, giả sử P(n) đúng với n = k, chứng minh P(n) cũng đúng khi n = k + 1.

II. Ví dụ về phương pháp quy nạp

* Ví dụ 1 (Câu hỏi 1 trang 80 SGK Toán 11 Đại số): Xét hai mệnh đề chứa biến P(n): “3ⁿ < n + 100” và Q(n): "2ⁿ > n" với n ∈ N*.

a) Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

b) Với mọi n ∈ N* thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

> Lời giải:

a) Xét P(n) : “3ⁿ < n + 100”:

- Với n = 1, P(1) trở thành: "3¹ < 1 + 100".

Mệnh đề đúng vì 3¹ = 3 < 1 + 100 = 101.

- Với n = 2, P(2) trở thành: "3² < 2 + 100".

Mệnh đề đúng vì 3² = 9 < 2 + 100 = 102.

- Với n = 3, P(3) trở thành: "3³ < 3 + 100".

Mệnh đề đúng vì 3³ = 27 < 3 + 100 = 103.

- Với n = 4, P(4) trở thành: "3⁴ < 4 + 100".

Mệnh đề đúng vì 3⁴ = 81 < 4 + 100 = 104.

- Với n = 5, P(5) trở thành: "3⁵ < 5 + 100".

Mệnh đề sai vì 3⁵ = 243 > 5 + 100 = 105.

• Xét Q(n): "2ⁿ > n".

- Với n = 1, Q(1) trở thành: "2¹ > 1".

Mệnh đề đúng vì 2¹ = 2 > 1.

- Với n = 2, Q(2) trở thành: "2² > 2".

Mệnh đề đúng vì 2² = 4 > 2.

- Với n = 3, Q(3) trở thành: "2³ > 3".

Mệnh đề đúng vì 2³ = 8 > 3.

- Với n = 4, Q(4) trở thành: "2⁴ > 4".

Mệnh đề đúng vì 2⁴ = 16 > 4.

- Với n = 5, Q(5) trở thành: "2⁵ > 5".

Mệnh đề đúng vì 2⁵ = 32 > 5.

b) Với mọi n ∈ N* thì P(n), Q(n) thì nhận thấy

- P(n) không đúng với mọi n ∈ N* (sai với n = 5).

- Q(n) luôn đúng với mọi n ∈ N*.

* Ví dụ 2 (Câu hỏi 2 trang 81 SGK Toán 11 Đại số): Chứng minh rằng với n ∈ N* thì:

$\small 1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$

> Lời giải:

- Khi n = 1 thi ta có: VT = 1.

$\small VP=\frac{1.(1+1)}{2}=1$

⇒ VT = VP , do đó đẳng thức đúng với n = 1.

- Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, tức là:

$\small 1+2+3+...+k=\frac{k(k+1)}{2}$

- Ta phải chứng minh rằng đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là:

$\small 1+2+3+...+k+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$

- Từ giả thiết quy nạp ta có:

$\small VT=(1+2+3+...+k)+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)$

$\small =\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}=\frac{k^2+k+2k+2}{2}$

$\small \dpi{100} \small =\frac{k^2+3k+2}{2}=\frac{(k+1)(k+2)}{2}=VP$

Vậy đẳng thức đúng với mọi n ∈ N*

* Ví dụ 3 (Câu hỏi 3 trang 82 SGK Toán 11 Đại số): Cho hai số 3ⁿ và 8n với n ∈ N*.

a) So sánh 3ⁿ và 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5.

b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp

> Lời giải:

a) So sánh

n = 1 ⇒ 3¹ = 3 < 8 = 8.1

n = 2 ⇒ 3² = 9 < 16 = 8.2

n = 3 ⇒ 3³ = 27 > 24 = 8.3

n = 4 ⇒ 3⁴ = 81 > 32 = 8.4

n = 5 ⇒ 3⁵ = 243 > 40 = 8.5

b) Dự đoán kết quả tổng quát: 3ⁿ > 8n với mọi n ≥ 3

- Với n = 3, bất đẳng thức đúng

- Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 3, nghĩa là: 3^k > 8k

- Ta phải chứng minh rằng bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là:

3^{(k + 1)} > 8(k + 1)

- Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

3^{(k + 1)} = 3^k.3 > 8k.3 = 24k = 8k + 16k

k ≥ 3 ⇒ 16k ≥ 16.3 = 48 > 8

Suy ra: 3^{(k + 1)} > 8k + 8 = 8(k + 1)

Vậy bất đẳng thức đúng với mọi n ≥ 3.

Trên đây KhoiA.Vn đã giới thiệu với các em về Phương pháp quy nạp toán học, ví dụ về phương pháp quy nạp. Hy vọng bài viết giúp các em hiểu rõ hơn. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết, chúc các em thành công.

Phương pháp quy nạp toán học ví dụ về phương pháp quy nạp - Toán 11 bài 1

Tags

Đánh giá & nhận xét