Điều kiện hàm số liên tục tại 1 điểm? Cách tìm hàm số liên tục tại 1 điểm bài tập ví dụ

22:06:5707/10/2023

Xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm là một trong những dạng phổ biến trong chương trình Toán 11.

Nội dung dưới đây sẽ giúp các em biết: Hàm số liên tục tại 1 điểm khi nào? Cách tính hàm số liên tục tại 1 điểm như thế nào? để áp dụng vào giải các bài tập hàm số liên tục tại 1 điểm.

1. Hàm số liên tục tại 1 điểm

- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x₀ ∈ (a;b). Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x₀ nếu:

$\small \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$

- Hàm số f(x₀) không liên tục tại điểm x₀ thì x₀ được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x).

* Ví dụ : Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f(x)= x³+ 2x – 1 tại x₀= 3.

- Theo bài ra: f(x) = x³ + 2x – 1

- Tính f(x₀):

Ta có: f(x₀) = f(3) = 3³ + 2.3 – 1 = 32 (*)

- Tính $\small \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)$

Ta có: $\small \lim_{x\rightarrow 3}f(x)=\lim_{x\rightarrow 3}(x^3+2x-1)=3^3+2.3-1=32$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra: $\small \lim_{x\rightarrow 3}f(x)=f(3)$

⇒ f(x) liên tục tại x₀ = 3.

2. Cách tìm hàm số liên tục tại 1 điểm

* Phương pháp:

+ Bước 1: Tính f(x₀)

+ Bước 2: Tính $\small \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)$ hoặc $\small \lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x);\: \lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)$

+ Bước 3: So sánh: $\small \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)$ hoặc $\small \lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x);\: \lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)$ với $\small f(x_0)$ rồi rút ra kết luận

- Nếu $\small \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$ hoặc $\small \lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=f(x_0)$ thì kết luận hàm số liên tục tại

- Nếu $\small \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)$ không tồn tại hoặc $\small \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)\neq f(x_0)$ thì kết luận hàm số không liên tục tại x₀.

+ Bước 4: Kết luận.

* Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số g(x) sau tại điểm x = 0.

$\small g(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{5x-sin3x}{x},\: x>0\\ x^2-2x+2,\: x\leq 0 \end{matrix}\right.$

- Ta có: g(0) = 0² – 2.0 + 2 = 2.

$\small \lim_{x\rightarrow 0^+}g(x)=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{5x-sin3x}{x}$ $\small =\lim_{x\rightarrow 0^+}\left ( 5-3.\frac{sin3x}{3x} \right )=5-3=2$

$\small \lim_{x\rightarrow 0^-}g(x)=\lim_{x\rightarrow 0^-}(x^2-2x+2)=2$

$\small \Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0^-}g(x)=\lim_{x\rightarrow 0^+}g(x)=f(0)=2$

⇒ Vậy hàm số g(x) liên tục tại điểm x = 0.

* Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại x₀ = 2, biết:

$f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x^3-8}{x-2},\: x\neq 2\\ 5,\: x=2 \end{matrix}\right.\$

- Ta có: f(x₀) = f(2) = 5.

$\small \lim_{x\rightarrow 2}f(x)= \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^3-8}{x-2}$ $\small = \lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2}$

$\small = \lim_{x\rightarrow 2}(x^2+2x+4)=2^2+2.2+4=12$

$\small \Rightarrow \lim_{x\rightarrow 2}f(x) \neq f(2)$

⇒ f(x) không liên tục tại x₀ = 2.

Trên đây Khối A đã hướng dẫn các em nắm vững: Điều kiện hàm số liên tục tại 1 điểm? Cách tìm hàm số liên tục tại 1 điểm bài tập ví dụ. Hy vọng câu trả lời của KhoiA.Vn giúp ích cho các em. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết nhé, chúc các em thành công.