Điều kiện 4 điểm đồng phẳng trong không gian Oxyz

Điều kiện 4 điểm đồng phẳng trong không gian Oxyz

Để chứng minh bốn điểm A; B; C; D đồng phẳng ta có thể chứng minh hai đường thẳng AB và CD song song hoặc cắt nhau.

Ví dụ, bài tập minh họa chứng minh 4 điểm đồng phẳng

* Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M; N: P; Q, R; T lần lượt là trung điểm AC; BD, BC; CD; SA và SD. Chứng minh 4 điểm M; Q; T; R đồng phẳng?

Lời giải:

Ta có hình minh họa:

+ Ta có RT là đường trung bình của tam giác SAD nên RT // AD    (1)

+ MQ là đường trung bình của tam giác ACD nên MQ // AD    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: RT // MQ

Vì vậy: 4 điểm M; Q; T; R đồng phẳng.

* Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD Gọi M; N: P; Q; R; S lần lượt là trung điểm của các cạnh AC; BD; AB; AD; BC; CD. Chứng minh 4 điểm P; Q; R; S đồng phẳng?

Lời giải:

Ta có hình minh họa:

+ Vì PQ là đường trung bình của tam giác ABD nên PQ // BD

+ Tương tự, ta có RS // BD

Vậy PQ // RS nên 4 điểm P; Q; R; S cùng nằm trên một mặt phẳng

+ Các bộ bốn điểm M; N; R; S hoăc M; N; P; Q hoặc M; P; R; S đều không đồng phẳng

* Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi M; N; E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA; SB; SC; SD. Chứng minh bốn điểm M; N; E; F đồng phẳng?

Lời giải:

Ta có hình minh họa:

+ Trong ( SAC); gọi I = ME ∩ SO

+ Xét tam giác SAC có ME là đường trung bình nên ME // AC.

⇒ MI // AO và M là trung điểm của SA

⇒ I là trung điểm của SO

suy ra FI là đường trung bình của tam giác SOD.

⇒ FI // OD.   (1)

+ Tương tự ta có NI // OB    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 3 điểm N; I; F thẳng hàng hay I ∈ NF

Do ME ∩ NF = I nên ME và NF xác định một mặt phẳng

⇒ 4 điểm M; N; E, F đồng phẳng