Điều kiện 3 đường thẳng đồng quy trong không gian Oxyz

Điều kiện để 3 đường thẳng đồng quy trong không gian Oxyz

Để chứng minh 3 đường thẳng đồng quy ta chứng minh theo cách sau:

+ Cách 1: chứng minh giao điểm của hai đường này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba

+ Cách 2: Dựa vào định lí: Ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến khi đó; ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song.

Ví dụ, bài tập minh họa chứng minh 3 đường thẳng đồng quy

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi M; N; E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA; SB; SC; SD. Chứng minh ME; NF; SO đồng quy (O là giao điểm của AC và BD)?

Lời giải:

Ta có hình minh họa:

+ Trong (SAC); gọi I = ME ∩ SO

+ Xét tam giác SAC có ME là đường trung bình nên ME // AC

⇒ MI // AO và M là trung điểm của SA

⇒ I là trung điểm của SO

Suy ra FI là đường trung bình của tam giác SOD.

⇒ FI // OD   (1)

+ Tương tự ta có NI // OB   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 3 điểm N; I; F thẳng hàng hay I ∈ NF

Vậy ME; NF; SO đồng quy

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD đều. Gọi M, N, P, Q, R và S lần lượt trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC và BD. Chứng minh 3 đường thẳng MN, PQ, RS đồng quy?

Lời giải:

Ta có hình minh họa:

+ Xét tam giác ABD có M và Q lần lượt là trung điểm của AB và AD

⇒ MQ là đường trung bình của tam giác ABD và MQ // BD    (1)

+ Xét tam giác BCD có P và N lần lượt là trung điểm của BC và CD

⇒ PN là đường trung bình của tam giác BCD và PN // BD    (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MQNP là hình bình hành.

+ Gọi O là giao điểm của MN và PQ

⇒ O là trung điểm của MN và PQ (Tính chất hình bình hành)

+ Chứng minh tương tự có RP // QS // AB và RQ // PS // CD

⇒ Tứ giác QRPS là hình bình hành

Mà O là trung điểm của PQ nên O cũng là trung điểm của RS. (hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

⇒ Ba đường thẳng MN, PQ, RS đồng quy tại O.

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không phải là hình thang. Trên cạnh SC lấy điểm M . Gọi N là giao điểm của SD và mp (AMB). Chứng minh 3 đường thẳng AB; CD; MN đồng quy?

Lời giải:

Ta có hình minh họa:

Trong mp (ABCD) gọi I là giao điểm của AD và BC

Trong mp (SBC), gọi K là giao điểm của BM và SI

Trong mp (SAD); gọi N là giao điểm của AK và SD

Khi đó N là giao điểm của đường thẳng SD với mp(AMB)

- Gọi O là giao điểm của AB và CD. Ta có:

+ O ∈ AB mà AB ⊂ (AMB) suy ra O ∈ (AMB)

+ O ∈ CD mà CD ⊂ (SCD) suy ra O ∈ (SCD

⇒ O ∈ (AMB) ∩ (SCD) (1)

Mà MN = (AMB) ∩ (SCD) (2)

Từ (1) và (2) , suy ra O ∈ MN.

Vậy ba đường thẳng AB; CD và MN đồng quy.