Điều kiện 3 điểm thẳng hàng trong không gian Oxyz

Điều kiện để 3 điểm thẳng hàng trong không gian Oxyz

Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh theo cách sau:

+ Cách 1: Chứng minh 3 điểm đó cùng thuộc 1 đường thẳng.

+ Cách 2: Chứng minh 3 điểm đó là điểm chung của hai mặt phẳng (α) và (β) (Khi đó 3 điểm cùng thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng (α) và (β)).

Ví dụ, bài tập minh họa chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (P) qua MN và cắt AD; BC lần lượt tại P và Q. Biết MP cắt NQ tại I. Chứng minh ba điểm I; B; D thẳng hàng?

Lời giải:

Ta có hình minh họa:

Ta có: (ABD) ∩ (BCD) = BD    (1)

Lại có: 

 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: I ∈ BD hay 3 điểm I; B; D thẳng hàng

Ví dụ 2: Cho tứ diện SABC. Gọi L; M; N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA; SB và AC sao cho LM không song song với AB và LN không song song với SC. Mặt phẳng (LMN) cắt các cạnh AB; BC và SC lần lượt tại K; I; J. Chứng minh ba điểm M; I và J thẳng hàng?

Lời giải:

Ta có hình minh họa:

Ta có:

- M ∈ SB suy ra M isin; (LMN) ∩ (SBC)    (1)

- I ∈ BC ⊂ (SBC) và I ∈ NK ⊂ (LMN)

⇒ I ∈ (LMN) ∩ (SBC)   (2)

- J ∈ SC ⊂ (SBC) và J ∈ LN ⊂ (LMN)

⇒ J ∈ (LMN) ∩ (SBC)     (3)

Vậy M ; I; J thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của mp (LMN) và (SBC)