Đạo hàm: Định nghĩa, Ý nghĩa của Đạo hàm, Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa - Giải tích 11 bài 1 C5

Bài viết dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về khái niệm và ý nghĩa của đạo hàm, làm quen quy tắc, cách tính đạo hàm bằng định nghĩa và cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b), x∈ (a;b). Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số  khi x → x₀ được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại x₀, ký hiệu f'(x₀) hay y'(x₀).

Như vậy: 

Nếu đặt x - x₀ = Δx và Δy = f(x₀ + Δx) - f(x₀) thì ta có:

 Đại lượng Δx được gọi là số gia của đối số tại x₀và đại lượng Δy được gọi là số gia tương ứng của hàm số.

2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Để tính đạo hàm bằng định nghĩa ta thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Với Δx là gia số của đối số đối tại x₀, tính Δy = f(x₀ + Δx) - f(x₀).

- Bước 2: Lập tỉ số: 

- Bước 3: Tính 

> Nhận xét: Nếu thay x₀ bởi x ta có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x ∈ (a;b).

3. Quan hệ giữa tính liên tục và sự tồn tại của đạo hàm

• Định lý: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x₀ thì nó liên tục tại x₀.

> Chú ý: Định lí trên tương đương với khẳng định:

- Nếu y = f(x) gián đoạn tại x₀ thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.

- Mệnh đề đảo của định lý không đúng. Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

- Nếu tồn tại f'(x₀) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M₀(x₀;y₀). Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M₀(x₀;y₀) là:

 y - f(x₀) =  f'(x₀).(x - x₀)