Cấp số cộng là gì? Công thức tính tổng cấp số cộng và Công sai của cấp số cộng - Toán 11 bài 3

13:39:1414/10/2021

Bài trước các em đã học về dãy số, trong dãy số có những dãy số có đặc điểm đặc biệt như từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d, dãy số có đặc điểm này chính là cấp số cộng.

Cụ thể, cấp số cộng là gì? công thức tính của cấp số cộng ra sao? Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng thế nào? công sai d của cấp số cộng là gì? chúng ta sẽ đi tìm hiểu trong bài viết này.

I. Cấp số cộng

1. Định nghĩa cấp số cộng

• Cấp số cộng là gì? công sai của cấp số cộng

- Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

- Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

• Công thức truy hồi của cấp số cộng

- Nếu (u_n) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi:

u_n+₁= u_n + d với n∈N^* (1)

- Đặc biệt khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

* Ví dụ: Dãy số 1; 5; 9; 13; 17 là cấp số cộng vì:

5 = 1 + 4

9 = 5 + 4

13 = 9 + 4

17 = 13 + 4

21 = 117 + 4

Đây là cấp số cộng có công sai d = 4 và số hạng đầu là u₁ = 1.

II. Số hạng tổng quát của cấp số cộng

• Định lý 1:

- Nếu cấp số cộng (u_n)có số hạng đầu u₁và công sai d thì số hạng tổng quát u_n được xác định bởi công thức:

u_n= u₁+ (n−1)d ; n≥2 (2)

* Ví dụ: Cho cấp số cộng (u_n) biết u₁ = -5, d = 3 tìm u₁₀.

> Lời giải:

- Theo công thức số hạng tổng quát.

u_n = u₁ + (n - 1).d

với n = 10; u₁ = -5 và d = 3 ta được:

u₁₀ = -5 + (10 - 1).3 = -5 + 9.3 = 22.

III. Tính chất các số hạng của cấp số cộng

• Định lý 2:

- Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:

$\small u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2};\: k\geq 2$ (3)

* Ví dụ: Cho ba số 5; x; 13 theo thứ tự lập thành cấp số cộng, tìm x.

> Lời giải:

- Theo tính chất cấp số cộng, ta có:

$\small x=\frac{5+13}{2}=9$

Vậy x = 9.

IV. Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

• Công thức tính tổng của cấp số cộng

• Định lý 3:

- Cho cấp số cộng (u_n). Đặt S_n=u₁+ u₂+ u₃+ ... + u_n

Khi đó: $\small S_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2}$ (4)

> Chú ý: Vì u_n= u₁+ (n−1)d nên công thức (4) có thể viết:

$\small S_n=nu_1+\frac{n(n-1)}{2}d$

* Ví dụ: Cho cấp số cộng thỏa mãn u₁ = -1, d = 5. Tính S₁₀.

> Lời giải:

- Theo công thức tính tổng n số đầu, ta có: $\small S_{n}=nu_1+\frac{n(n-1)}{2}d$

Với n = 10, u₁ = -1, d = 5 ta được:

$\small S_{10}=10u_1+\frac{10(10-1)}{2}.d$ $\small =10.(-1)+\frac{10.9}{2}.5=-10+225=215$

V. Các câu hỏi vận dụng

* Câu hỏi 1 trang 93 SGK Toán 11 Giải tích: Biết bốn số hạng đầu của một dãy số là -1, 3, 7, 11.

Từ đó hãy chỉ ra một quy luật rồi viết tiếp năm số hạng của dãy theo quy luật đó.

> Lời giải:

- Ta có: 3 = -1 + 4

7 = 3 + 4

11 = 7 + 4

- Quy luật: kể từ số thứ 2, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với 4.

- Năm số hạng tiếp của dãy theo quy luật đó là: 15; 19; 23; 27; 31.

* Câu hỏi 2 trang 93 SGK Toán 11 Giải tích: Cho (u_n) là một cấp số cộng có sáu số hạng với u₁ = (-1/3), d = 3. Viết dạng khai triển của nó.

> Lời giải:

- Ta có:

$\small u_2=u_1+d=\frac{-1}{3}+3=\frac{8}{3}$

$\small u_3=u_2+d=\frac{8}{3}+3=\frac{17}{3}$

$\small u_4=u_3+d=\frac{17}{3}+3=\frac{26}{3}$

$\small u_5=u_4+d=\frac{26}{3}+3=\frac{35}{3}$

$\small u_6=u_5+d=\frac{35}{3}+3=\frac{44}{3}$

Dạng triển khai của cấp số cộng trên là:

$\small \frac{-1}{3};\: \frac{8}{3};\: \frac{17}{3};\: \frac{26}{3};\: \frac{35}{3};\: \frac{44}{3}$

* Câu hỏi 3 trang 94 SGK Toán 11 Giải tích: Mai và Hùng chơi trò xếp các que diêm thành hình tháp trên mặt sân. Cách xếp được thể hiện trên Hình 42.

Hỏi: Nếu tháp có 100 tầng thì cần bao nhiêu que diêm để xếp tầng đế của tháp?

> Lời giải:

Xây 1 tầng cần 2 que diêm để xếp tầng đế

Xây 2 tầng cần 4 que diêm để xếp tầng đế (4 = 2 + 1.2)

Xây 3 tầng cần 6 que diêm để xếp tầng đế ( 6 = 2 + 2.2)

Xây 100 tầng cần 200 que diêm để xếp tầng đế (200 = 2 + 99.2)

* Câu hỏi 4 trang 96 SGK Toán 11 Giải tích: Cấp số cộng gồm tám số hạng -1, 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27 được viết vào bảng sau:

-1	3	7	11	15	19	23	27

a) Hãy chép lại bảng trên và viết các số hạng của cấp số đó vào dòng thứ hai theo thứ tự ngược lại. Nêu nhận xét về tổng của các số hạng ở mỗi cột.

b) Tính tổng các số hạng của cấp số cộng.

> Lời giải:

a) Viết dòng hai theo thứ tự ngược lại ta có bảng sau:

-1	3	7	11	15	19	23	27
27	23	19	15	11	7	3	- 1

- Nhận xét: Tổng của các số hạng ở mỗi cột bằng nhau và bằng 26

b) Tổng các số hạng của cấp số cộng là: (26.8)/2 = 104.

Trên đây KhoiA.Vn đã giới thiệu với các em về Cấp số cộng? Công thức tính tổng cấp số cộng và Công sai của cấp số cộng. Hy vọng bài viết giúp các em hiểu rõ hơn. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết, chúc các em thành công.

Cấp số cộng là gì? Công thức tính tổng cấp số cộng và Công sai của cấp số cộng - Toán 11 bài 3

Tags

Đánh giá & nhận xét