Bài 7 trang 94 SGK Toán 11 tập 1 Cánh Diều

Bài 7 trang 94 Toán 11 tập 1 Cánh Diều:

Cho hình tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm cạnh CD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA.

a) Chứng minh rằng các điểm M, N thuộc mặt phẳng (ABI).

b) Gọi G là giao điểm của AM và BN. Chứng minh rằng: 

c) Gọi P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác DAB, ABC. Chứng minh rằng các đường thẳng CP, DQ cùng đi qua điểm G và:  

Giải bài 7 trang 94 Toán 11 tập 1 Cánh Diều:

a) Chứng minh rằng các điểm M, N thuộc mặt phẳng (ABI).

Ta có hình vẽ sau:

• Xét ΔBCD có: I là trung điểm của CD nên BI là đường trung tuyến.

Mà M là trọng tâm ΔBCD nên BI đi qua M.

⇒ M ∈ BI.

Lại có AI ⊂ (ABI) nên M ∈ (ABI).

• Xét ΔACD có: I là trung điểm của CD nên AI là đường trung tuyến.

Mà N là trọng tâm ΔACD nên AI đi qua N.

⇒ N ∈ AI.

Lại có BI ⊂ (ABI) nên N ∈ (ABI).

b) Chứng minh rằng: 

- Trong ΔBCD có M là trọng tâm tam giác nên: 

- Trong ΔACD có N là trọng tâm tam giác nên: 

• Xét ΔABI có:  

⇒ MN // AB (theo định lí Thales đảo).

• Xét ΔABI và MN // AB theo hệ quả định lí Thales ta có:

• Xét ΔABG và MN // AB theo hệ quả định lí Thales ta có:

c) Chứng minh rằng các đường thẳng CP, DQ cùng đi qua điểm G và:  

Ta có hình vẽ sau:

• Gọi G’ là giao điểm của AM và CP;

• G’’ là giao điểm của AM và DQ.

Chứng minh tương tự câu b, ta có:

và: 

Mà G, G’, G’’ cùng nằm trên AM nên G ≡ G’ ≡ G’’.

Vậy các đường thẳng CP, DQ cùng đi qua điểm G.

• Xét ΔABC, kẻ đường trung tuyến AE (E ∈ BC).

Ta có: Q là trọng tâm ΔABC nên 

• Xét ΔABD, kẻ đường trung tuyến AF (F ∈ BD).

Ta có: P là trọng tâm ΔABD nên 

• Trong mặt phẳng (AEF), có:   nên PQ // EF (định lí Thales đảo)

Mà EF // CD (đường trung bình ΔBCD).

⇒ PQ // CD

- Theo hệ quả định lí Thales ta có: